米勒—拉宾 素性测试（Miller–Rabin primality test）

数论知识

欧拉定理

$a^{\phi(n)}\equiv1(mod\ n) \qquad a与n为正整数且互质$

费马小定理

若p为素数，且存在a与p互质（任意的a<p都满足），此时 $\phi(p)=p-1$，根据欧拉定理有，
$a^{p-1}\equiv1(mod\ n)$

二次探测定理

已知p为素数且 $x&lt;p$考虑方程 $x^2\equiv1(mod\ p)$有解，则 $x=1$或者 $x=p-1$

证明：
$x^2-1\equiv0(mod\ p) \\ (x+1)(x-1) = k*p$
当 $k=0$时， $x=1$；当 $k=1$时， $x=p-1$；当 $k&gt;1$时，不存在 $x&lt;p$

素性测试

费马测试

费马小定理毕竟只是素数判定的一个必要条件，并非充分条件。下面我们定义卡迈克尔数：

若合数n且任意与n互质的a，都有 $a^{n-1}\equiv1(mod\ n)$，则n被称为卡迈克尔数。

我们做费马测试时，可能对目标p进行测试，选择不同的基数如2（令a=2）

• 通过基数为2费马测试，则很大概率为素数（注意通过基数为2的费马测试的合数不一定是卡迈克尔数，因为卡马克尔数是对任意与n互质的a），称为以2为基的伪素数
• 否则，必为合数

Miller-Rabin素性测试

Miller-Rabin素性测试为概率性算法，操作对象是我们从费马测试得到的以2为基的伪素数，有 $2^{n-1}\equiv1(mod\ n)$。

假设p为素数，此时对照二次探测定理，有 ${x_1}^2 = 2^{n-1}(mod\ n)$，则有 $x_1=2^{\frac{n-1}{2}}$，此时 $x_1=1$或 $x_1=n-1$。综上， $x_1\equiv1(mod\ n)$。

递归下去，令 ${x_2}^2=x_1$，有 ${x_2}^2\equiv1(mod\ n)$，此时 $x_2={x_1}^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{n-1}{2^2}}$，此时 $x_2\equiv1(mod\ n)$

这样一直检验下去…

代码实现

//TODO:

更多参考（很有很多要补充的）

https://blog.csdn.net/ltyqljhwcm/article/details/53045840
https://www.xuebuyuan.com/552593.html
http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3398112.html
http://blog.chinaunix.net/uid-21712186-id-1818141.html