剑指offer 跳台阶，变态跳台阶，矩形覆盖

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

思路：台阶数：1,2,3,4,5

跳法：1,2,3,5,8

显然的菲波那切数列

答题思路

如果只有1级台阶，那显然只有一种跳法
如果有2级台阶，那么就有2种跳法，一种是分2次跳。每次跳1级，另一种就是一次跳2级
如果台阶级数大于2，设为n的话，这时我们把n级台阶时的跳法看成n的函数，记为 $f(n)$ ,第一次跳的时候有2种不同的选择：一是第一次跳一级，此时跳法的数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为 $f(n-1)$ ,二是第一次跳二级，此时跳法的数目等于后面剩下的n-2级台阶的跳法数目，即为 $f(n-2)$ ,因此n级台阶的不同跳法的总数为 $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$ ，不难看出就是斐波那契数列

数学函数表示如下

$f(x)=\left\{ \begin{aligned} & 0 & n=0 \\ & 1 & n=1 \\ & 2 & n=2 \\ & f(n-1)+f(n-2) & n > 2 \end{aligned} \right.$

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target==0 || target==1 || target==2)
            return target;
        else
            return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
    }
}

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：台阶数：1,2,3,4,5

跳法：1,2,4,8,16

显然后面数字是前面的两倍

思路

如果台阶级数为n的话，这时我们把n级台阶时的跳法看成n的函数，记为 $f(n)$ ,第一次跳的时候有n种不同的选择：若是第一次跳一级，此时跳法的数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为 $f(n-1)$ ,若是第一次跳m(m<n)级，此时跳法的数目等于后面剩下的n-m级台阶的跳法数目，即为 $f(n-m)$ ,若是第一次跳n级，此时跳法的数目等于1.所以 $f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m) + ... + f(2) + f(1) + 1$
因此 $f(n - 1) = f(n-2) + ... + f(n-m) + ... + f(2) + f(1) + 1$
两式相减得到 $f(n) = 2 * f(n-1)$
因此可以得到下面的结果
$\begin{aligned} f(n) &= f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m) + ... + f(2) + f(1) + 1 \\ &= 1 + f(1) + f(2) + ... + f(n-m) + ... + f(n-2) + f(n-1) \\ &= 1 + f(1) + 2*f(1) + ... + 2^{n-m-1} * f(1) + ... 2^{n-3} * f(1) + 2^{n-2} * f(1) \\ &= 1 + 1 + 21 + ... + 2^{n-m-1} + ... 2^{n-3} + 2^{n-2} \\ &= 2^{n-1} \end{aligned}$

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target==0 || target==1)
            return target;
        else
            return JumpFloorII(target-1)*2;
    }
}

题目描述

我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

思路：
我们采用从能够简单到复杂的思路思考这个问题，当n=1的时候，只有一个2*1的矩形，所以只有一种方法，记为f(1)=1；当n=2的时候，是两个2*1的矩形，这时候具有两种方式去覆盖这个矩形了（这时候应该是一个正方形），一种是竖着放，一种是横着放，所以有两种方法，记为f(2)=2；

当n=3的时候，仍然只能采用横着放或者竖着放的方式去覆盖这个矩形，我们仍首先考虑使用竖着放的方式，当竖着放的时候，由于已经覆盖了左边（假设是从左边开始覆盖的，从右边的覆盖的效果是一样的）一个2*1的矩形，所以还有2个2*1的矩形，而这种情况我们已经在n=2的时候计算出来了，就是f(2)；接下来我们考虑横着放的情况，由于是横着放，在水平方向已经覆盖了一个2*1的矩形，所以要想覆盖这由3个2*1组成的矩形，只能在水平方向的覆盖的那个矩形下面继续覆盖一个，那么只剩下一个2*1的矩形了，这也通过前面的分析计算出来了，就是f(1)。综合以上分析，当n=3的时候，覆盖的方法是f(3)=f(1)+f(2)。

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target==0 || target==1 || target==2)
            return target;
        else
            return RectCover(target-1)+RectCover(target-2);
    }
}