P.V.C.Hough[1]第一次提出用霍夫变换（Hough Transform） 检测二值图中的直线和曲线， R.D.Duda和P.E.Hart[2]根据霍夫变换提出了一种更有效的直线检测方法， 这就是通常所称的标准霍夫直线检测。 下面详细介绍它的原理。 在xoy平面内的一条直线大致分为如图9-5所示的四种情况：
通过观察可以发现， 计算完成四个象限的直线方程， 最后的表示结果是一样的， 即如果知道原点到一条直线的代数距离ρ和与x轴的夹角θ， 则直线方程可由以下方式表示：
当然， 反过来也可以， 如果知道平面内的一条直线， 那么可以计算出唯一的ρ和θ，即xoy平面内的任意一条直线对应参数空间（或称霍夫空间） θoρ中的一点（ρ， θ） 。 如图9-6所示， 对于xoy平面内的直线y =10-x， 因为原点到该直线的垂线在第一象限， 垂线与x轴正方向的夹角为 ， 原点到该直线的代数距离为
， 所以该直线对应到θoρ中的点
:
从另一个角度考虑， 过xoy平面内的一点（x1， y1） 有无数条直线， 则对应霍夫空间中的无数个点， 这无数个点连接起来就是θoρ平面内的曲线ρ=x1 cosθ+y1 sinθ。 如图9-7所示， 过xoy平面内的点（5， 5） 有无数条直线， 则这个点对应到霍夫空间中的曲线ρ=5cosθ+5 sinθ， 其中因为过（5， 5） 有一条直线是y=10-x， 如图9-6所示， 该直线对应坐标点 ， 所以ρ=5 cosθ+5 sinθ过点
。 对其他直线的讨论与之类似。
通过上述讨论可以解答一个问题： 如何验证xoy平面内的（x1， y1） ， （x2，y2） ， …是否共线？ 只要曲线ρ=xi cosθ+yi sinθ， i=1， 2， …在θoρ平面内相交于一个点就可以了。 举例： 在xoy平面内有四个点1、 2、 3、 4， 坐标依次为（2， 8） 、 （3， 7） 、（5， 5） 和（6， 4） ， 根据这四个点可以在θoρ平面内画出对应的四条曲线， 这四条曲线相交于一个点， 所以这四个点是共线的， 如图9-8所示。
过这四个点的直线是y=10-x， 所以相交点为 ， 如图9-9所示:
推广以上结论， 讨论一个稍微复杂的问题： 已知平面内的一些点， 如何找出哪些点在同一条直线上？ 解答过程如图9-10所示， xoy平面内有5个点， 对应到θoρ平面内的5条曲线， 可以看出1、 2、 3、 4点对应的曲线是相交于一个点的， 所以xoy平面内的1、 2、3、 4点是共线的； 同样， 5点和4点对应的曲线也相交于一个点， 所以xoy平面内的5点和4点是共线的（两点决定一条曲线） ； 其他的与之类似.
图9-10 验证笛卡儿坐标系中的哪些点在同一条直线上
结论： 判断xoy平面内哪些点是共线的， 首先求出每一个点对应到霍夫空间的曲线， 然后判断哪几条曲线相交于一点， 最后将相交于一点的曲线反过来对应到xoy平面内的点， 这些点就是共线的， 这就是在图像中进行标准霍夫直线检测的核心思想。