前言
如果你能找到这里，真是我的幸运~这里是蓝白绛的学习笔记，本集合主要针对《百面机器学习——算法工程师带你去面试》这本书。主要记录我认为重要的知识点，希望对大家有帮助。
第七章 优化算法
引导语
机器学习算法＝模型表征＋模型评估＋优化算法。
优化算法就是要在模型表征空间中找到模型评估指标最好的模型。
注：也就是机器学习算法＝模型＋目标函数＋优化算法。
1、有监督学习的损失函数
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书中介绍的二分类损失函数有：0-1损失、Hinge损失、Logistic损失、交叉熵损失等，如下图。
7-1 二分类问题损失函数.jpg
- 0-1损失函数：即错误率，公式如下：其中为指示函数，当为真时为1，为假时为0。
由于其非凸、非光滑的特点，使得算法很难直接对该函数进行优化。 - Hinge损失函数：公式如下：Hinge损失是0-1损失相对紧的凸上界，且当时，不做任何惩罚。Hinge损失在处不可导，因此不能用梯度下降法进行优化，而是用次梯度下降法(Subgradient Descent Method)。
- Logistic损失函数：公式如下：Logistic损失也是0-1损失的凸上界，该函数处处光滑，因此可以用梯度下降优化，但该损失函数对所有样本点都有惩罚，因此对异常值相对更敏感。
- 交叉熵损失函数(cross entropy)：公式如下：交叉熵损失函数也是0-1损失的光滑凸上界。
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书中介绍的回归问题损失函数有：平方损失函数、绝对损失函数、Huber损失函数。如下图：
7-1 回归问题损失函数.jpg
- 平方损失函数：公式如下：平方损失函数是光滑函数，能用梯度下降优化。但是当预测值与真实值较远时，平方损失函数的惩罚力度越大，因此对异常点敏感。
- 绝对损失函数：公式如下：为了解决平方损失函数对异常点敏感的问题，则有了绝对损失函数。绝对损失函数相当于是在做中值回归，而平方损失函数是做均值回归，所以绝对损失函数对异常点更鲁棒。但是绝对损失函数在处无法求导。
- Huber损失函数：公式如下：
综合考虑了可导性和对异常点的鲁棒性。在较小时为平方损失，在较大时为线性损失，处处可导，且对异常点鲁棒。
2、机器学习中的优化问题
- 凸函数：凸函数的严格定义为：函数是凸函数当且仅当对定义域中的任意两点，和任意实数总有直观解释是，凸函数曲面上任意两点连接而成的线段，线段上任意一点都不会处于该曲线的下方。如下图所示为凸函数。
7-2 凸函数示意图.jpg - 逻辑回归，经过对参数(或为)求二阶导数，可以得到其Hessian矩阵满足半正定的性质，因此函数对应的优化问题是凸优化问题。
- 主成分分析对应的优化问题是非凸优化问题。一般来说，非凸优化问题是比较难求解的问题，但主成分分析是一个特例，可以借助SVD奇异值分解直接得到主成分分析的全局极小值。
- 凸优化问题有：逻辑回归、支持向量机、线性回归等线性模型。
非凸优化问题有：主成分分析、低秩模型(如矩阵分解)、深度神经网络模型等。
3、经典优化算法
- 经典的优化算法可以分为：直接法和迭代法。
- 直接法：能够直接给出优化问题最优解的方法(梯度为0的点)。它不是万能的，它要求目标函数满足两个条件：凸函数和闭式解。
(1) 是凸函数。如果是凸函数，则是最优解的充分必要条件为在处梯度为0，即
(2) 为了能直接求出，上式要有闭式解。
直接法的经典例子是岭回归(Ridge Regression)。 - 迭代法：迭代地修正对最优解的估计。分为一阶法(梯度下降法)和二阶法(牛顿法)。
(1) 一阶法：迭代公式为：一阶法也称梯度下降法，梯度是目标函数的一阶信息。
(2) 二阶法：迭代公式为：二阶法又称牛顿法，Hessian矩阵就是目标函数的二阶信息。
二阶法的收敛速度一般远快于一阶法，但是在高维情况下，Hessian矩阵求逆计算复杂度很大，而且当目标函数非凸时，二阶法有可能会收敛到鞍点。
4、梯度验证
注：这一节讲的是，写出求梯度的代码之后，如何验证自己写的代码是正确的。这里我们平常都用已有的框架，里面求梯度的代码已经写好了，所以没有考虑过这个问题。
- 在用梯度下降法求解优化问题时，最重要的操作就是计算目标函数的梯度。写出计算梯度的代码之后，通常要验证自己写的代码是否正确。
这里公式较多，我只写最后的结论。我们验证下式：其中为一个非常小的增量，为单位向量，其中只有第个分量为1，与对应，为了验证的第个分量。其中的有关于和泰勒展开的拉格朗日余项的差，经过推导我们认为前面的数非常接近0，因此近似用常数代替。
当较小时，每减小为原来的，近似误差约为原来的，即近似误差是的高阶无穷小。
实际应用中，我们随机初始化，取为较小的数(如)，对，依次验证是否成立，如果对应某个下标该式不成立，则有以下两种可能：
(1) 该下标对应的过大。
(2) 该梯度分量计算不正确。
可以固定，将减少为原来的，再次计算近似误差，若近似误差约减小为原来的，则对应过大这种情况，可以用更小的再次做梯度验证。否则梯度分量计算不正确。
5、随机梯度下降
- 随机梯度下降法：经典的梯度下降法采用所有训练数据的平均损失来近似目标函数，当数据量很大时，需要很大的计算量，耗费很长时间。为了解决这个问题，随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent，SGD)用单个训练数据的损失来近似平均损失，大大加快了收敛速度。该方法也非常适用于数据源源不断到来的在线更新场景。
- 小批量梯度下降法：为了降低随机梯度的方差，使迭代算法更加稳定，也为了充分利用高度优化的矩阵运算操作，在实际运用中我们用小批量梯度下降法(Mini-Batch Gradient Descent)，同时处理小批量的训练数据。其中时远小于数据总量的常数，这样能大大加快训练过程。
小批量梯度下降法使用的注意事项：
- 如何选取参数。不同的应用最优的通常不一样，需要通过调参选取。一般取2的次幂能充分利用矩阵运算操作，如32、64、128、256等。
- 如何挑选个训练数据。为了避免数据的特定顺序给算法收敛带来影响，一般会在每次遍历前对所有数据随机排序，在每次迭代时按顺序挑选个训练数据直至遍历完所有数据。
- 如何选取学习速率。为了加快收敛速率，同时提高求解精度，通常用衰减学习率的方法。最优的学习速率方案也通常需要调参才能得到。
小结
这是本章的第一部分，第一部分讲的内容比较容易理解，并且可能在这之前见过，稍微有些了解。例如常见的损失函数、常见的优化方法、批量梯度下降、随机梯度下降、小批量梯度下降。后面的第二部分讲了随机梯度下降的加速，即一些改进的优化方法，如动量方法、AdaGrad方法、Adam方法，还讲了L1正则化产生稀疏解的原因。第二部分涉及较多的优化技巧，放到下一篇中整理。
结尾
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