持续更新qwq
数据结构——树链剖分
- 子树相关操作
- 链上信息的更新（加，减，乘，赋值）
- 维护链上信息
- 维护链上有向信息，如有向最大差 例题：TJOI2015旅游
就是维护前缀最大差，后缀最大差以满足有向的限制。最大差有两种选择方式。
- 维护链上有向信息，如有向最大差 例题：TJOI2015旅游
数据结构——LCT
- 维护链信息（LCT上的平衡树操作）
- 动态维护连通性&双联通分量
- 维护边权（常用于维护生成树）
- 维护子树信息
- 维护树上染色联通块
数据结构——左偏树
- 合并，求最值 例题：APIO2012派遣
数据结构——线段树合并
- 一般线段树都是权值线段树，我们对权值线段树进行合并。
数学——莫比乌斯反演
- 求\(gcd(i,j)=k,i\in[a,b],j\in[c,d]\)的个数 要求\(O(N)\)
求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\) 要求\(O(N\sqrt N)\)
数学——莫比乌斯反演——公式与技巧
- \(i\in[1,n],j\in[1,m]\;then\;d(ij)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]\)
- \(\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{m}{k}\rfloor[x|gcd(i,j)]=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\lfloor\frac{m}{xk}\rfloor\)
求\(\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)——整除分块
数学——BSGS
- 一般用来在\(\sqrt N\)的时间内，解决对于\(y^x\equiv z\pmod p\)，给定\(y,z,p\)求x的问题。
图论——生成树
图论——生成树——kruskal生成树
例题：NOI2018归程\(\;\)peaks加强版
- 对于一个图，执行有关于从某个点出发的第几条小/大的边，或者从某个点出发小于/大于x的边不计算相关问题，强制在线。
图论——网络流
图论——网络流——最大流
- 常用建图模型1：对于一个点多种状态的（比如说在不同时刻状态意义不一样），可以把这个点拆成n个点，来分别表示不同时刻的状态。
- 询问最大流的几种方案中最长边的最小值 例题：SDOI费用流
二分+限流跑dinic
图论——网络流——最小割
- 最大权闭合子图模型
- 出现环怎么办。缩点，给每个强连通分量里面的点都连一条-inf的边到T。（NOI植物大战僵尸）
- 切糕模型 （给定一个立方体，它被分成pqr个格子，每个格子中都有一个数字，相邻地选择数字，每一行每一列都要选择一个数字。要求这些数字和最小。）
- 建r+1层，然后这些边的权值是对应位置的数字权值。从每一个点（第z层）向它旁边四个纵轴连一条指向第z-d层的有向边
- 带组合的决策问题 （给定n个点，每个点放进集合A有收获，放进B有对应收获，一些点组合起来一起放进A或B有额外收获，问最大收获？）
- 如果处理额外收获？最小割，割掉表示不选。每个组合建对应集合个的新点，新点连对应集合的点INF。如果是问最小收获？直接把取值反成n-ci按原来的求，之后答案再还原一下即可。
动态规划——树形DP
动态规划——树形DP——虚树优化
- 保留有效信息（如询问点和LCA），一般都出现在有询问点总和的条件约束的题目中。
动态规划——区间DP
- 给定一个序列，可以删除大于1长度的，连续的，形成等差数列的数，删完之后两边拼合，求最后最少能剩下多少个数？
无论怎么删，总是能拆成删若干次两个的+若干次三个的。所以区间DP+分类讨论即可。 - n个数，对于每一个数i，有ai个数比它大，有bi个数比它小，可能有相同数出现。问最小的不合法约束数量？ 例题：HAOI problem a
做一个转化，每一个数的约束条件都是一个区间，这个区间内他们的数值都相同。每个区间都有一个权值，然后线性地DP即可。不过注意一个区间内最多有min(对应区间为此的数的数量，r-l+1)。
动态规划——区间DP——有决策点的DP
- 已知[1,x]区间里有东西，每次可以从[1,n]区间中以a[i]的代价询问该点是否有东西，求最坏情况下能确定x所需要的代价？ 例题：挖油，要求\(O(N^2)\)
区间DP+优化。主要是用优先对列将其从\(O(n^3)\)优化到\(O(n^2)\)，用n+1个优先队列维护该点状态主要从哪一种（作为最坏的）转移而来，1个维护固定左端点的，每次更换枚举的i时清空。n个维护固定右端点的，无需清空。
动态规划——普通DP
- 一个n*m的矩阵，可以选择其中一个数字进行修改（当然也可以不修改），求最大/最小矩阵和。
记录行/列最小值/最大值方便替换，记录一个不修改的最大/最小矩阵和和一个带修改的最大/最小矩阵和。 - 一个n*m的矩阵，可以选择其中一个数字进行修改（当然也可以不修改），使得矩阵的最大子矩阵尽可能小。
DP+分类讨论
其他技巧
- 曼哈顿距离小于等于d的菱形可以通过更改坐标系（旋转45度）使其变成矩形。例题：BZOJ极光
- 求满足\(l_i\le L\)或者\(R\le r_i\)的\(i\)的数量，可以转化为以\(L,R\)为原点，求坐标在第二象限的点的个数，可以用线段树扫描线来做。 例题：ARC exhausted?