IOI2017 Day1 Toy Train 题解

传送门

题解

这题思维难度比较大^_

首先，对任意集合 $S$，定义函数 $f_A(S)$为不管B怎样A都能进入 $S$的起点的集合， $f_B(S)$同理

设充电站集合为 $R$，则如果起点在 $f_A(R)$以外B必胜（即B一定有一种策略使得火车无法进入 $R$）

如果 $f_A(R)$为全集则A赢（不管怎样A总能使火车进入 $R$）

如果 $f_A(R)$不为全集，设 $X$为 $f_A(R)$的补集，则如果起点属于 $X$则B必胜

如果起点属于 $f_B(X)​$中B一定可以进入 $X​$，所以B同样必胜

剩下的节点胜负未定，我们可以抠掉这些B胜的节点，继续判断 $f_A(R)$是否为全集并重复上述过程，直到 $f_A(R)$为全集为止，此时剩下的节点就是A必胜的起点

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现在问题就是快速求 $f_A$， $f_B$（由于求 $f_A$的过程和求 $f_B$的过程相似，所以这里只讨论求 $f_A$的方法）

由于 $n\le 5000$，所以可以根据定义直接求 $f_A$

首先 $f_A(S)$至少是 $S$

每次选一个点，它进入 $f_A$的条件是：

• 它由A掌控，并且它至少有一条道路通向 $S$
• 它由B掌控，并且它所有道路全部都通向 $S$

具体实现时可以每次在 $S$中取出一个尚未取出的节点，并更新每个点是否满足条件。

举个栗子

红色节点属于A，蓝色节点属于B，黄色标记代表这是一个充电车站

首先 $R=\lbrace2,9\rbrace$

按照前面的方法求出 $f_A(R)=\lbrace2,3,4,5,9\rbrace$

则 $X=notf_A(R)=\lbrace1,6,7,8\rbrace$

$f_B(X)=\lbrace1,2,6,7,8\rbrace$

把 $\lbrace1,2,6,7,8\rbrace$抠掉，得到 $\lbrace3,4,5,9\rbrace$

用类似的方法，得 $R=\lbrace9\rbrace$， $f_A(R)=\lbrace3,4,5,9\rbrace$为全集

所以得到答案 $w=\lbrace0,0,1,1,1,0,0,0,1\rbrace​$

我在交的时候忘删了调试语句，结果调了好久…qwq

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n,m,q[N],h,t,vis[N];
vector<int> e[N],e2[N];
vector<int> f(int flag,vector<int> a,vector<int> r,vector<int> res){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	vector<int> ans(n),deg(n);
	t=0,h=-1;
	for(int i=0;i<n;i++)if(r[i]&&res[i])q[++h]=i,ans[i]=1;
	for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<(int)e[i].size();j++)if(res[e[i][j]]){if(a[i]^flag)deg[i]++;else deg[i]=1;}}
	while(t<=h){
		int v=q[t++];
		for(int i=0;i<(int)e2[v].size();i++){
			int u=e2[v][i];
			if(!ans[u]&&res[u]){deg[u]--;if(!deg[u])ans[q[++h]=u]=1;}
		}
	}
	return ans;
}
vector<int> who_wins(vector<int> a,vector<int> r,vector<int> u,vector<int> v){
	n=a.size(),m=u.size();
	while(m--)e[u[m]].push_back(v[m]),e2[v[m]].push_back(u[m]);
	vector<int> ans(n);
	for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=1;
	while(1){
		int flag=1;
		vector<int> res1=f(1,a,r,ans);
		for(int i=0;i<n;i++)if(ans[i]&&!res1[i])flag=0;
		if(flag)return ans;
		for(int i=0;i<n;i++)res1[i]^=1;
		vector<int> res2=f(0,a,res1,ans);
		for(int i=0;i<n;i++)if(res2[i])ans[i]=0;
	}
	return ans;
}