SPLAY（伸展树）学习笔记

splay简介

splay是一颗bst，有“序列之王”的美誉，可以处理序列的一切问题。处理区间只有splay和fhq_treap两棵平衡树（当然，如果你想写，B+）可以解决。

优点：万能、常数较小、可用于link cut tree

缺点：代码长、不能可持久化。

相关文章：fhq_treap link cut tree

splay操作

void splay(x,goal)

我们假设有一棵原树，长成这样：

splay树满足如下的性质：中序遍历是有序的（当处理普通平衡树问题的时候，且合法的操作都符合特性）。

注意：上述提醒对于序列操作无效，只是当你推导有困难的时候自己画图（脑补）考虑一下。

通过将节点旋转至根节点来进一步操作（称为splay操作）

那么我们先来看splay操作：

第一种情况、需旋转的节点x的父亲是目标节点p。那么只要一次旋转。如图x是左儿子，需要右旋。图为将a旋转到b。图片来自百度

第二种情况、x、x的父亲、x的父亲的父亲“三点共线”（如果不能理解就看下面的图），执行两次相同方向的旋转。那么先旋转x的父节点，再旋转x。图为将x点旋转到z点。图片来自百度。

第三种情况、else。执行两次不同方向的旋转。图为将x旋转到g。

上述三种情况介绍完之后，相信同学们对于旋转（还不懂？往下翻）以及splay操作有一定的认识。

递归写法：（来源：算法竞赛入门经典）

void splay(Node* &o,int k) {
    int d=o->cmp(k);
    if (d==1) k-=o->ch[0]->s+1;
    if (d!=-1) {
        Node *p=o->ch[d];
        int d2=p->cmp(k);
        int k2=(d2==0>k:k-p->ch[0]->s-1);
        if (d2!=-1) {
            splay(p->ch[d2],k2);
            if (d==d2) rotate(o,d^1); else rotate(o->ch[d],d);
        }
    }
    rotate(o,d^1);
}

非递归写法（建议同学们背一下）：

void splay(int x,int goal=0) {
    for (int f;(f=fa[x])!=goal;rotate(x))
        if (fa[f]!=goal) rotate((get(x)==get(f))?f:x);
    if (!goal) rt=x;
}

void rotate(x)

就是上述过程中的旋转。需要完成下面4件事情：

X变到原来Y的位置
Y变成了 X原来在Y的相对的那个儿子
Y的非X的儿子不变 X的 X原来在Y的那个儿子不变
X的 X原来在Y的相对的那个儿子变成了 Y原来是X的那个儿子

上代码。

bool get(int x) {return ch[fa[x]][1]==x;}
 
void rotate(int x) {
    int y=fa[x],z=fa[y],k=get(x); 
    //y是x的父亲，z是父亲的父亲，k是x是否是它父亲的右子树。 
    pushdown(y); pushdown(x); //不要忘记pushdown 
    ch[y][k]=ch[x][k^1]; fa[ch[y][k]]=y;
    ch[x][k^1]=y; fa[y]=x;
    fa[x]=z;
    if (z) ch[z][ch[z][1]==y]=x;
    pushup(y); pushup(x); //pushup 
}

未完待续