树的知识点总结-数据结构

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1. **

一：树的基本术语

1.定义
树是一种非线性结构，只有一个根结点，除根结点外每个孩子结点可以有多个后继，没有后继的结点叫叶子结点。
2.概念
根结点：没有前驱；
孩子：有前驱的结点；
双亲结点：孩子结点的前驱；
叶子：没有孩子结点
结点度：结点的分支数；

树的度：一棵树中最大结点度数；
树的深度：树的层次数目；
有序树：结点的子树从左到右有顺序；
森林：多棵互不相交的树的集合；
3.二叉树
**特点：特殊的树，每个结点最多有两棵子树，有左右顺序之分。
性质：
1.第i层上最多2^(i-1)个结点，最少0个；
2.深度k，最多2^k-1个结点，最少k个结点；
3.对于二叉树，终端结点（叶子结点）数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1;
4.总结点数n,分支数B,则n=B+1,n=n0+n1+n2,B=n1+2*n2;
5.具有n个结点的完全二叉树的深度:[log2^n]+1;

二叉树的存储结构：
对于非线性结构，顺序二叉树仅适用于完全二叉树，所有在这采用链式存储。

以下为二叉树的链式存储及基本操作
包含三种递归遍历。

#define CHAR /* 字符型 */
 /* #define INT /* 整型（二者选一） */
 #include<string.h>
 #include<ctype.h>
 #include<malloc.h> /* malloc()等 */
 #include<limits.h> /* INT_MAX等 */
 #include<stdio.h> /* EOF(=^Z或F6),NULL */
 #include<stdlib.h> /* atoi() */
 #include<io.h> /* eof() */
 #include<math.h> /* floor(),ceil(),abs() */
 #include<process.h> /* exit() */
 /* 函数结果状态代码 */
 #define TRUE 1
 #define FALSE 0
 #define OK 1
 #define ERROR 0
 #define INFEASIBLE -1
 typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等 */
 typedef int Boolean; /* Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE */
 #ifdef CHAR
   typedef char TElemType;
   TElemType Nil=' '; /* 字符型以空格符为空 */
 #endif
 #ifdef INT
   typedef int TElemType;
   TElemType Nil=0; /* 整型以0为空 */
 #endif
    /* c6-2.h 二叉树的二叉链表存储表示 */
 typedef struct BiTNode
 {
   TElemType data;
   struct BiTNode *lchild,*rchild; /* 左右孩子指针 */
 }BiTNode,*BiTree;

 Status InitBiTree(BiTree *T)
 { /* 操作结果: 构造空二叉树T */
   *T=NULL;
   return OK;
 }
 void CreateBiTree(BiTree *T)
 { /* 算法6.4:按先序次序输入二叉树中结点的值（可为字符型或整型，在主程中 */
   /* 定义），构造二叉链表表示的二叉树T。变量Nil表示空（子）树。有改动 */
   TElemType ch;
 #ifdef CHAR
   scanf("%c",&ch);
 #endif
 #ifdef INT
   scanf("%d",&ch);
 #endif
   if(ch==Nil) /* 空 */
     *T=NULL;
   else
   {
     *T=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
     if(!*T)
       exit(OVERFLOW);
     (*T)->data=ch; /* 生成根结点 */
     CreateBiTree(&(*T)->lchild); /* 构造左子树 */
     CreateBiTree(&(*T)->rchild); /* 构造右子树 */
   }
 }

 Status BiTreeEmpty(BiTree T)
 { /* 初始条件: 二叉树T存在 */
   /* 操作结果: 若T为空二叉树,则返回TRUE,否则FALSE */
   if(T)
     return FALSE;
   else
     return TRUE;
 }

 #define ClearBiTree DestroyBiTree

 int BiTreeDepth(BiTree T)
 { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的深度 */
   int i,j;
   if(!T)
     return 0;
   if(T->lchild)
     i=BiTreeDepth(T->lchild);
   else
     i=0;
   if(T->rchild)
     j=BiTreeDepth(T->rchild);
   else
     j=0;
   return i>j?i+1:j+1;
 }

 TElemType Root(BiTree T)
 { /* 初始条件: 二叉树T存在。操作结果: 返回T的根 */
   if(BiTreeEmpty(T))
     return Nil;
   else
     return T->data;
 }
 void PreOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数。算法6.1，有改动 */
   /* 操作结果: 先序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
   if(T) /* T不空 */
   {
     Visit(T->data); /* 先访问根结点 */
     PreOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 再先序遍历左子树 */
     PreOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后先序遍历右子树 */
   }
 }

 void InOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
   /* 操作结果: 中序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
   if(T)
   {
     InOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先中序遍历左子树 */
     Visit(T->data); /* 再访问根结点 */
     InOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 最后中序遍历右子树 */
   }
 }
  void PostOrderTraverse(BiTree T,Status(*Visit)(TElemType))
 { /* 初始条件: 二叉树T存在,Visit是对结点操作的应用函数 */
   /* 操作结果: 后序递归遍历T,对每个结点调用函数Visit一次且仅一次 */
   if(T) /* T不空 */
   {
     PostOrderTraverse(T->lchild,Visit); /* 先后序遍历左子树 */
     PostOrderTraverse(T->rchild,Visit); /* 再后序遍历右子树 */
     Visit(T->data); /* 最后访问根结点 */
   }
 }


 Status visitT(TElemType e)
 {
 #ifdef CHAR
   printf("%c ",e);
 #endif
 #ifdef INT
   printf("%d ",e);
 #endif
   return OK;
 }

 void main()
 {
   int i;
   BiTree T,p,c;
   TElemType e1,e2;
   InitBiTree(&T);
   printf("构造空二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
   e1=Root(T);
   if(e1!=Nil)
 #ifdef CHAR
     printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
 #endif
 #ifdef INT
     printf("二叉树的根为: %d\n",e1);
 #endif
   else
     printf("树空，无根\n");
 #ifdef CHAR
   printf("请先序输入二叉树(如:ab三个空格表示a为根结点,b为左子树的二叉树)\n");
 #endif
 #ifdef INT
   printf("请先序输入二叉树(如:1 2 0 0 0表示1为根结点,2为左子树的二叉树)\n");
 #endif
   CreateBiTree(&T);
   printf("建立二叉树后,树空否？%d(1:是 0:否) 树的深度=%d\n",BiTreeEmpty(T),BiTreeDepth(T));
   e1=Root(T);
   if(e1!=Nil)
 #ifdef CHAR
     printf("二叉树的根为: %c\n",e1);
 #endif
 #ifdef INT
     printf("二叉树的根为: %d\n",e1);
 #endif
   else
     printf("树空，无根\n");
   printf("先序递归遍历二叉树:\n");
   PreOrderTraverse(T,visitT);
   printf("\n");
   printf("中序递归遍历二叉树:\n");
   InOrderTraverse(T,visitT);
   printf("\n");
   printf("后序递归遍历二叉树:\n");
   PostOrderTraverse(T,visitT);
 }

4.线索二叉树
特征：LTag=0:lchild域指示结点的左孩子
———LTag=1:lchild域指示结点的前驱
———RTag=0:lchild域指示结点的右孩子
———RTag=1:lchild域指示结点的后继
以这种结点结构构成的二叉树链表作为二叉树的存储结构，叫做线索链表，其中指向前驱和后继的指针叫做线索，加上线索的二叉树叫线索二叉树。

5.树、二叉树、森林之间的转换
1.树和二叉树：
树转化成二叉树：1.加线：兄弟相连；2.抹线：长兄为父；3.旋转：顺时针旋转90度；
二叉树转化树：过程相反。
2. 把如图所示的树转化成二叉树。

2.森林转化成二叉树：
先把每棵树转换成二叉树，把第二棵树根结点当作第一棵树的兄弟，依次这样操作。

3.二叉树转化成森林：
二叉树的根结点的右孩子必是森林，孩子结点的右子树为兄弟。

6.赫夫曼树应用
定义：又称最优树，是一类带权值最短路径的树。
路径长度：树中一个结点到另一个结点的分支数之和。
带权路径长度：各分支数与上面的权值乘积之和。 树的带权路径长度：WPL

最优二叉树或赫夫曼树:WPL最小的树。

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详细问题请浏览本人其它博客，谢谢关注

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