回溯法（1）：全排列问题

本文介绍回溯法的全排列问题及其两种衍生题。解法只需要在原来的基础上做些修改即可。

1.需要一个一维数组来保存结果集。需要考虑以哪种属性来构造数组，即考虑数组中要存放什么类型的数据，反过来放行不行？具体看衍生题第2题。

2.需要进行两次比较，一次是 一次全排列后进行一次比较，另一次是在递归的过程中进行比较，进而排除那些极端情况，比如过程中产生的部分结果要比最优的总结果还要糟糕，进而排除，即剪枝。

3.*分析问题有时要考虑极端情况

for i = t to n do, t表示到下一层时不用从1开始，而是直接从t开始，t就相当于节点的出度。那么什么时候用t，什么时候用1呢，即什么时候是 for i = 1 to n do ? 当节点的出度为n时，即从i= 1开始算起。也就是说此时不再是n个数的不重复全排列了，也就是说前后可以重复。比如说这题可以 1 -> 2 -> 1.比如说n位数有2^n种肯能。也就是说进入下一层节点的时候要从头对所有可能对情况进行遍历。

后面几题均会以此题为模版出题

衍生问题1:

工作分配问题

设有n件工作要分配给n个人去完成，将工作i分配给第j个人所需费用为。试设计一个算法，为每个人分配1件不同的工作，并使总费用达到最小。

//在全排列对基础上筛选出最优解
void Backtrack(int i){
    if(i > n){//一次全排列完进行比较
        if(cc < minc)//cc存放当前总代价
            return;
    }
    else {
        for( int j = i; j <= n; j++){//从i开始对节点的出度进行遍历
            if(cc < minc){//剪枝
                swap(work[i], work[j]);//work[i]存放排列结果的下标
                cc += c[i][work[i]];
                Backtrack(i+1);//进入下一层节点
                cc -= c[i][work[i]];//矫正cc的值，返回到上一层的状态
                swap(work[i], work[j]);//矫正顺序，返回到上一层的状态
            }
        }
    }
}

衍生问题2:

最佳调度问题

设有n个任务由k个可并行工作的机器来完成，完成任务i需要时间为。试设计一个算法找出完成这n个任务的最佳调度，使完成全部任务的时间最早。（要求给出调度方案）

该算法可抽象为子集树回溯算法，针对特定的任务数和机器数定义解空间，对于n个任务和k个机器，

解编码：（X1，X2，。。。，Xn），Xi表示给任务i分配的机器编号；

解空间：{（X1，X2，。。。，Xn）| Xi属于S，i=1到n}，S={1,2，。。。，k}

这个问题可以想象成有k个槽，n个高矮不一的箱子，怎么样把n个箱子放到k个槽当中，从而使高度最高的那个槽的高度最短？方法有很多中，极端的做法是把n个箱子都放到一个槽中，从而使时间运行时间最大，也可以分摊开来，从而使并行的运行时间最少。

1.构造一维数组：time_mac[]表示第i个machine要运行的时间，x[task]表示当前的调度策略。best_x[i]表示最优的调度策略。

2.if(time_mac[i]<min_t) //为什么要跟min_t进行比较，因为过程中产生的非完全数据可能比最优的完全数据还要差，而如果继续进入下一层，只会时结果增加，因此要进行排除。考虑极端情况，将所有任务都分配到第一台机器中。

#define NUM_TASK 10
#define NUM_MAC 3
#include <iostream>
#include <climits>
using namespace std;
void output(int x[]);
void BackTrack(int task);
int getTime(int time_mac[]);
void output_assign(int best_x[]);
 
//所有数组下标从1开始
int x[NUM_TASK + 1];//x[task]表示给任务task分配机器x[task]
int best_x[NUM_TASK+1];//存储最优分配方案
int min_t=INT_MAX;//执行任务所需的最小时间
int t[NUM_TASK + 1] = { 0,1,7,4,0,9,4,8,8,2,4 };//每个任务所需时间
//int t[NUM_TASK + 1] = { 0,1,7,4 };//每个任务所需时间
int time_mac[NUM_MAC + 1] = {0};//每个机器运行结束的时间
 

void BackTrack(int task) {
 
	if (task > NUM_TASK) {
		
		int cur_time = getTime(time_mac);//当前已分配任务的完成时间
		/*输出所有分配情况，以及对应的时间*/
		//output(x);
		//cout << "time=" << cur_time <<endl;
		
		if (cur_time < min_t) { //剪枝
			min_t = cur_time;
			for (int i = 1; i <=NUM_TASK; i++) {
				best_x[i] = x[i];
			}
		}
	}
	else{
		for (int i = 1; i <= NUM_MAC; i++) {
			x[task] = i;
			time_mac[i] += t[task];//在第i台机器上添加任务task
			if(time_mac[i]<min_t)  //为什么要跟min_t进行比较，因为过程中产生的非完全数据可能比最优的完全数据还要差，而如果继续进入下一层，只会时结果增加，因此要进行排除。
				BackTrack(task+1);/
			time_mac[i] -= t[task];
		}
	}
}
 
void output(int x[]) {
	for (int i = 1; i <= NUM_TASK; i++) {
		cout << x[i]<< " ";
	}
}
 //返回time_mac[]数组当中的最大值
int getTime(int time_mac[]) {
	int max_time=time_mac[1];
	for (int i = 2; i <= NUM_MAC; i++) {
		if (time_mac[i] > max_time) {
			max_time = time_mac[i];
		}
	}
	return max_time;
}
 
void output_assign(int best_x[]) {
	for (int i = 1; i <= NUM_TASK; i++) {
		cout << "任务" << i << "分配给机器" << best_x[i] << endl;
	}
}

int main() {
	BackTrack(1);
 
	cout << "各个任务执行时间依次为：" << endl;
	for (int i = 1; i <= NUM_TASK; i++) {
		cout << t[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	cout << "所需要的最小时间为："<<min_t << endl;
	//output(best_x);
	output_assign(best_x);
	return 0;
}

目前关于递归的题目能采用套模版，然后在此基础上进行修改来解题。而要理解递归过程，必须画出递归调用树。

回溯法（1）：全排列问题

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