Mastering Python Scientific Computing

线性方程组

迭代法：

雅可比迭代法

高斯赛德迭代法

非迭代法：

高斯LU矩阵分解法

高斯消元法

非线性方程组：

一维非线性方程解法:

二分法

牛顿法

割线法

插值法

逆差值法

逆二次插值法

线性分式插值法

非线性方程组解法：

牛顿法

割线法

阻尼牛顿法

Broyden法

最优化方法

应用场景

工程力学

经济学

运筹学

控制工程

石油工程

分子建模

内插法

例子：有一组机房温度的数据，时间间隔可能是固定不变的，可能不是固定不变得，估计插值计算一天剩余时间机房的温度

分段常熟内插法

线性内插法

多项式内插法

样条内插法

基于高斯过程的内插法

外插法

例子：已经获得12到65各个年龄段的用户每天上网的小时数，那么估计12岁以下和65岁以上每天上网的小时数

线性外插法

多项式外插法

锥外插法

法国曲线外插法

数值积分

辛普森法则

梯形法则

精炼梯形法则

高斯积分法则

牛顿-柯特思积分法则

高斯-勒让德积分法则

数值微分

有限差分近似法

微分求积法

有限差分系数

插值微分法

微分方程

分为两类：常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）

解常微分方程：

欧拉方法

泰勒级数法

龙格-库塔法

四阶龙格-库塔法

预估-校正法

解偏微分方程：

有限元法

有限差分法

有限体积法

初值问题

常微分方程的初始值是在未知函数定义域内

边界值问题

带约束的微分方程的解必须能够同时满足微分方程的所有约束

随机数生成器

应用：

统计抽样、赌博、随机生成的设计、科学与工程领域的计算机仿真等

分类：

真随机数生成器和伪随机数生成器

统计分布生成随机数：

泊松分布

指数分布

正态分布

高斯分布

伪随机数生成器：

BBS随机数生成器

Wichmann-Hill随机数生成器

进位-互补-乘法随机数生成器

反向同余随机数生成器

ISAAC随机数生成器

滞后斐波那契随机数生成器

线性同余随机数生成器

线性反馈移位寄存器

最大周期倒数随机数生成器

梅森旋转随机数生成器

进位相乘随机数生成器

Naor-Reingold伪随机数生成器

Park-Miller随机数生成器

WELL伪随机数生成器

现成数据集

https://www.opensciencedatacloud.org/publicdata/?commons_type=General

Numpy程序包

N维度数组数据结构

文件处理

SciPy程序包

优化函数

数值分析

积分与微分

统计学

聚类和空间算法

图像处理

SymPy符号计算

多项式

微积分

方程式求解

离散数学

矩阵

几何

画图

物理学

统计学

打印

Pandas程序包

Series

DataFrame

Panel

matplotlib程序包

数据可视化

Numpy的基本对象

N维数组对象

数组属性：大小、每项大小、数据、维度

x2d = np.array(((100,200,300),(111,222,333),(123,456,789)))
print(x2d.shape)
print(x2d.dtype)
print(x2d.size)
print(x2d.itemsize)
print(x2d.ndim)
print(x2d.data)

数组基本操作

x = np.array([1,12,25,8,15,35,50,7,2,10])
print(x[3:7])
print(x[1:9:2])
print(x[0:9:3])

x = np.array([1,12,25,8,15,35,50,7,2,10])
x2d = np.array(((100,200,300),(111,222,333),(123,456,789),(125,457,791),(127,459,793),(129,461,795)))
for i in x:
    print(i)
for row in x2d:
    print(row)

数组的特殊操作

x2d = np.array(((100,200,300),(111,222,333),(123,456,789),(125,457,791),(127,459,793),(129,461,795)))
print(x2d)
print(x2d.ravel())
print(x2d.resize(3,6))
print(x2d.reshape(6,3))

与数组相关的类

矩阵子类

a = np.matrix('1 2 3;4 5 6;7 8 9')
print(a)
b = np.matrix('4 5 6;7 8 9;10 11 12')
print(b)
print(a*b)

掩码数组

x = np.array([72,79,85,90,150,-135,120,-10,60,100])
mx = ma.masked_array(x,mask=[0,0,0,0,0,1,0,1,0,0])
mx2 = ma.masked_array(x,mask=x<0)
print(x.mean())
print(mx.mean())
print(mx2.mean())

结构化数组

rectype = np.dtype({'names':['mintemp','maxtemp','avgtemp','city'],'formats':['i4','i4','f4','a30']})
a = np.array([(10,44,25.2,'Indore'),(10,42,25.2,'Mumbai'),(2,48,30,'Delhi')],dtype=rectype)
print(a[0])
print(a['mintemp'])
print(a['maxtemp'])
print(a['avgtemp'])
print(a['city'])

各种可用的通用函数

x1 = np.array([72,79,85,90,150,-135,120,-10,60,100])
x2 = np.array([72,79,85,90,150,-135,120,-10,60,100])
x_angle = np.array([30,60,90,120,150,180])
x_sqr = np.array([9,16,25,225,400,625])
x_bit = np.array([2,4,8,16,32,64])
print(np.greater_equal(x1,x2))
print(np.mod(x1,x2))
print(np.exp(x1))
print(np.reciprocal(x1))
print(np.negative(x1))
print(np.isreal(x1))
print(np.isnan(np.log10(x1)))
print(np.sqrt(np.square(x_sqr)))
print(np.sin(x_angle*np.pi/180))
print(np.tan(x_angle*np.pi/180))
print(np.right_shift(x_bit,1))
print(np.left_shift(x_bit,1))

Numpy的数学模块

arr2d = np.array(((100,200,300),(111,222,333),(129,461,795)))
eig_val,eig_vec = LA.eig(arr2d)
print(LA.norm(arr2d))
print(LA.det(arr2d))
print(LA.inv(arr2d))
arr1 = np.array([[2,3],[3,4]])
arr2 = np.array([4,5])
results = np.linalg.solve(arr1,arr2)
print(results)
print(np.allclose(np.dot(arr1,results),arr2))

SciPy数学函数

积分

quad函数高斯积分

result = quad(lambda x:special.jv(4,x),0,20)
print(result)
print("Gaussian integral",np.sqrt(np.pi),quad(lambda x:np.exp(-x**2),-np.inf,np.inf))

def integrand(x,a,b,c):
    return a*x*x+b*x+c
a = 3
b = 4
c = 1
result = quad(integrand,0,np.inf,args=(a,b,c))
print(result)

二重积分(dblquad)和三重积分(tplquad)

def integrand(t,x,n):
    return np.exp(-x*t)/t**n
n = 4
result = dblquad(lambda t,x:integrand(t,x,n),0,np.inf,lambda x:0,lambda x:np.inf)
print(result)

固定间隔的高斯积分

def integrand(x,a,b):
    return a*x+b
a = 2
b = 1
fixed_result = fixed_quad(integrand,0,1,args=(a,b))
result = quadrature(integrand,0,1,args=(a,b))
print(result)

辛普森法则

def func1(a,x):
    return a*x**2+2
def func2(b,x):
    return b*x**3+4
x = np.array([1,2,4,5,6])
y1 = func1(2,x)
Intgrl1 = simps(y1,x)
print(Intgrl1)
y2 = func2(3,x)
Intgrl2 = simps(y2,x)
print(Intgrl2

odeint函数做常微分方程

def derivative(x,time):
    a = -2.0
    b = -0.1
    return array([x[1],a*x[0]+b*x[1]])
time = linspace(1.0,15.0,1000)
xinitialize = array([1.05,10.2])
x = odeint(derivative,xinitialize,time)
plt.figure()
plt.plot(time,x[:,0])
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('x')
plt.show()

信号处理

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