稀疏性和可压缩性
为了方便描述，定义以下符号：
索引集合 $[N]\subset {1,2,...,N} \(,\)S\(是\)[N]\(个子集表示为\)[N]/S\(，\)\text{card} (S)\(表示集合\)S\(中元素的个数。用\)\bar{S}\(表示全集\)[N]\(中\)S\(的**补集**。 一个向量\)x\in C^N$的支撑区是该向量中非零元素的位置索引组成的集合。即
\[ \text{supp}(x):={j\in[N]:x_j\neq 0} \]
如果向量\(x\in C^N\)的非零元素个数最多只有\(s\)个，则把向量\(x\)称为\(\bold{s}\)稀疏向量，即
\[ ||x||_0:=\text{card} (\text{supp} (x))\leq s \]
符号\(||x||_0\)是\(||x||_0^0\)的省略写法，它的定义如下
\[ ||x||_p^p:=\lim_{p\to 0}\sum_{j=1}^N |x_j|^p=\sum_{j=1}^N1_{x_j\neq 0}=\text{card}(\{j\in [N]:x_j\neq 0\}) \]
也就是说\(||x||_0\)的值为向量\(x\)的\(l_p\)拟范数的\(p\)次方在\(p\)趋于0时的值。信号稀疏性的概念严格约束了向量最多含非零元素的个数，但是但部分情况下，向量无法满足严格稀疏的要求，因此引入可压缩性弱化稀疏性这一要求。
对于\(p>0\)，向量\(x\in C^N\)在范数\(||\cdot||_p\)下最佳\(\bold{s}\)-逼近误差为
\[ \sigma_s(x)_p=\text{inf}\{||x-z||_p,z\in C^N \text{is s-sparse}\} \]