P2261 [CQOI2007]余数求和(整除分块)

P2261 [CQOI2007]余数求和(整除分块)

思路：整除分块。

$G(n,k)$

$=\sum\limits_{i=1}^n k\bmod i$

$=\sum\limits_{i=1}^n k-\lfloor\dfrac{k}{i}\rfloor\times i$

$=nk-\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\dfrac{k}{i}\rfloor\times i$

对于 $x=\lfloor\dfrac{k}{i}\rfloor$相同的 $i$，是一个区间 $[l,r]$，因此我们可以进行分块运算。

对于当前区间左端点 $l$，它对于的 $r=\dfrac{k}{\lfloor\dfrac{k}{l}\rfloor}$

即： $\sum\limits_{i=l}^r \lfloor\dfrac{k}{i}\rfloor\times i=x \sum\limits_{i=l}^r i=\dfrac{x(l+r)(r-l+1)}{2}$

然后 $l=r+1$进入下一个块即可。

时间复杂度： $O(\sqrt{n})$

因为此题： $k$可能小于 $n$所以我们直接取到 $min(n,k)$为止即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
int main(){
	ll n,k;
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	ll ans=n*k;
	for(ll l=1,r;l<=min(n,k);l=r+1){
		r=min(k/(k/l),n);
		ans-=k/l*(r-l+1)*(l+r)>>1;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}