leetcode Count Primes（判断小于某个数的素数个数的逆向思维）

题目

题意：给定一个数n，求小于n的所有素数的个数

解题思路：如果是按照正常计算素数的方法解题一定会超时。

这是超时情况的代码：

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        int i,j;
        int num=0;
        if(n>2)
            num++;
        for(i=3;i<n;i+=2)
        {
            for(j=2;j<=sqrt(i);j++)
            {
                if(i%j==0)
                    break;
            }
            if(j>sqrt(i))
            {
                num++;
            }
        }
        return num;
    }
};

正确做法：根据素数的特点，素数都为奇数（除了2），为了降低时间复杂度，对于小于n的数，我们只要考虑小于n的奇数。

其次，得到一个奇数后我们并不判断这个数是否为素数，而是去排除该奇数的倍数的可能，比如说；得到一个奇数3，直接可以排除3的倍数9,12,15......是素 数。这里为什么是从n*n开始排除而不是从2*n开始排除呢？因为n*(2到n)的数字之前已经被排除过了。比如说：一个奇数5，要从5*5开始排除，5*3已经被前面的3*5排除过了，这样可以不用去重复排除，从而提高效率。

可能讲的还不是很清楚，看源码更容易理解。

源码附上

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        vector<bool> prime(n, true);
        prime[0] = false, prime[1] = false;
        for (int i = 0; i < sqrt(n); ++i) {
            if (prime[i]) {
                for (int j = i*i; j < n; j += i) {
                    prime[j] = false;
                }    
            }    
        }
        return count(prime.begin(), prime.end(), true);
    }
};