2010浙江省数学竞赛,附加题.
设$D,E,F$分别为$\Delta ABC$的三边$BC,CA,AB$上的点,记$\alpha=\dfrac{BD}{BC},\beta=\dfrac{BD}{BC},\gamma=\dfrac{AF}{AB}$
证明:$S_{\Delta DEF}\ge\alpha\beta\gamma S_{\Delta ABC}$
证明:
$S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AFE}-S_{BDF}-S_{DCE}$
$=S_{ABC}(1-\sum\limits_{cyc}\alpha(1-\beta))$
故只需证明:
$\alpha\beta\gamma\le1-\sum\limits_{cyc}\alpha(1-\beta)$
即证:
$(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)\ge0$显然成立.