CF#338D GCD Table 中国剩余定理（非互质） 数学专题第三题

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题目_P2102

http://codeforces.com/problemset/problem/338/D
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背景 Background
此系列问题为数论专题
具体参考博文
http://blog.csdn.net/chty2018/article/details/53432272
描述 Description
有一张N*M的表格，i行j列的元素是gcd(i,j)
读入一个长度为k，元素大小不超过10^12的序列a[1…k]，问这个序列是否在表格的某一行中出现过
输入格式 Input Format
第一行3个整数，n，m，k
第二行k个整数，第i个整数表示ai
输出格式 Output Format
如果出现过，输出“YES”，否则，输出“NO”
样例输入 Sample Input
100 100 5
5 2 1 2 1
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
100 8 5
5 2 1 2 1
样例输出 Sample Output
YES
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
NO
时间限制 Time Limitation
1s
注释 Hint
1<=N,M<=10^12
1<=k<=10^4
来源 Source
【CF#338D】GCD Table 中国剩余定理（非互质）
题面数据来自宋逸群

题解

要保证 $gcd(x,y)=a[i]$，显然 $x=lcm(a[1],a[2]……a[k])$
然后 $y\text{ }mod\text{ }a[1]=0$，即
$(y+i-1)\text{ }mod\text{ }a[i]=0$
即 $y\text{ }mod\text{ }a[1]=0$
$y\text{ }mod\text{ }a[2]=-1$
$……$
$y\text{ }mod\text{ }a[n]=-(n-1)$
这就转化为了中国剩余定理
求出y之后，只需验证 $gcd(x,y+i-1)=a[i]$即可
摘自chty

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e4+10;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	static ll f=1;
	static char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
inline ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &g,ll &x,ll &y)
{
	if (!b)
	{
		x=1,y=0,g=a;
		return ;
	}
	exgcd(b,a%b,g,x,y);
	ll tmp=x;
	x=y;
	y=tmp-a/b*y;
}
ll n,p,k,lcm(1);
ll m[maxn],a[maxn];
inline ll China()
{
    for (int i=1;i<=k;++i)
    	a[i]=1-i;
    ll A=a[1],M=m[1];
    for (int i=2;i<=k;++i)
    {
        ll x,y,data=a[i]-A,g;
		exgcd(M,m[i],g,x,y);
        if (data%g)
			return -1;
        ll tmp=m[i]/g;
        x*=data/g;
        x=(x%tmp+tmp)%tmp;
        A+=x*M;
        M=M*m[i]/g;
        A=(A+M)%M;
    }
    return A;
}
inline bool check()
{
	if (lcm>n) return 0;
	ll ans=China();
	if (ans<0) return 0;
	if (ans==0) ans=lcm;
	if (ans+k-1>p)  return 0;
	for (int i=1;i<=k;++i)
		if (gcd(lcm,ans+i-1)!=m[i])
			return 0;
	return 1;
}
int main()
{
	read(n);read(p);read(k);
	for (int i=1;i<=k;++i)
		read(m[i]);
	for (int i=1;i<=k;++i)
	{
		lcm=lcm/gcd(lcm,m[i])*m[i];
		if (lcm>n)	break;
	}
	if (check())
		puts("YES");
	else
		puts("NO");
	return 0;
}