上一篇博客中我们使用了四元数法计算ICP。
本篇我们使用SVD计算ICP。
下面是《视觉slam十四讲》中的计算方法：
计算步骤如下：
我们看到，只要求出了两组点之间的旋转，平移是非常容易得到的，所以我们重点关注R的计算。展开关于R的误差项，得：
注意到第一项和R无关，第二项由于R'R=I，亦与R无关。因此，实际上优化目标函数变为：
接下来，我们介绍怎样通过SVD解出上述问题中最优的R，但关于最优性的证明较为复杂，感兴趣的读者请参考【50,51】，为了解R，先定义矩阵：
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W是一个3*3的矩阵，对W进行SVD分解，得：
其中，
为奇异值组成的对角矩阵，对角线元素从大到小排列，而U和V为正交矩阵，当W满秩时，R为：
解得R后，按式7.53求解t即可。
具体证明可以参考：
代码如下：
clear all; close all; clc; %生成原始点集 X=[];Y=[];Z=[]; for i=-180:2:180 for j=-90:2:90 x = i * pi / 180.0; y = j * pi / 180.0; X =[X,cos(y) * cos(x)]; Y =[Y,sin(y) * cos(x)]; Z =[Z,sin(x)]; end end P=[X(1:3000)' Y(1:3000)' Z(1:3000)']; %生成变换后点集 i=0.5;j=0.3;k=0.7; Rx=[1 0 0;0 cos(i) -sin(i); 0 sin(i) cos(i)]; Ry=[cos(j) 0 sin(j);0 1 0;-sin(j) 0 cos(j)]; Rz=[cos(k) -sin(k) 0;sin(k) cos(k) 0;0 0 1]; R=Rx*Ry*Rz; X=P*R + [0.2,0.3,0.4]; plot3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),'b.'); hold on; plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),'r.'); %计算点集均值 up = mean(P); ux = mean(X); P1=P-up; X1=X-ux; %计算点集协方差 sigma=P1'*X1/(length(X1)); [u s v] = svd(sigma); RR=u*v'; %计算平移向量 qr=ux-up*RR; %验证旋转矩阵与平移向量正确性 Pre = P*RR+qr; figure; plot3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),'b.'); hold on; plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),'r.'); plot3(Pre(:,1),Pre(:,2),Pre(:,3),'go');
处理效果和四元数法一致：
原始点集：
其中蓝点为原始点集，红点为旋转平移后的点集。
配准后点集：
计算得到的旋转平移矩阵，通过对蓝点集进行转换得到绿点集，比较红点集与绿点集是否基本一致。