FFT及其框图实现

$FFT$及其框图实现

  基 $2$时域抽取
  基 $2$频域抽取

   $FFT$的全称为快速傅里叶变换，但是 $FFT$并不是一种变换，而是实现 $DFT$的一种快速算法。当 $N$比较大时，使用 $FFT$可大大减少进行 $DFT$变换的计算量。

   $N$点的 $DFT$所需的计算量为:
$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn}$
乘法: $N^2$次，加法: $N(N-1)$次。每当 $N$提高一倍，计算量增大四倍。

基 $2$时域抽取

  假设有一长度为 $2N$的有限长序列 $x[n]$，现对其进行 $DFT$变换，现有一算法可以将 $2N$点的 $DFT$计算降为 $N$的 $DFT$计算，如下:
  记 $g[n]$为 $x[n]$的下标为偶数时的序列，即 $g[n]=x[2n],0\leq n \leq N-1$,记 $v[n]$为 $x[n]$的下标为奇数时的序列，即 $v[n]=x[2n+1],0\leq n \leq N-1$,则
$\begin{aligned} X[k]&=\sum_{n=0}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}x[2n]W_{2N}^{k2n}+\sum_{n=0}^{N-1}x[2n+1]W_{2N}^{k(2n+1)} \\ &=\sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_N^{kn}+W_{2N}^k\sum_{n=0}^{N-1}v[n]W_N^{kn} \\ &=G[<k>_N]+W_{2N}^{k}V[<k>_N], 0\leq k \leq 2N-1 \end{aligned}$
当 $0 \leq k \leq N-1$时
$X[k]=G[k]+W_{2N}^kV[k]$
当 $N \leq k \leq 2N-1$时
$X[k]=G[<k>_N]+W_{2N}^{k}V[<k>_N]\xrightarrow{k=m+N}G[m]-W_{2N}^{m}V[m], 0\leq m \leq N-1$
其中 $g[n]$和 $v[n]$的 $DFT$都是 $N$点的。

  两个 $N$点的 $DFT$的运算量(以乘法为例)为 $2N^2$,而一个 $2N$点的 $DFT$运算量为 $4N^2$,计算量减少了一半!如果 $N=2^r$,则可以一直降下去，从而大大的减少了计算量。通过计算，可以知道此时的计算量为:乘法: $\dfrac{N}{2}log_2N$,加法: $Nlog_2N$。

  下面以8点的 $DFT$为例,其实现框图为:

基 $2$频域抽取

  依然对于 $2N$点的序列 $x[n]$进行 $DFT$计算，这次将 $x[n]$分为前后两部分，即 $g[n]$为 $x[n]$的前 $N$个点,即 $g[n]=x[n],0 \leq n \leq N-1$, $v[n]$为 $x[n]$的后 $N$个点，即 $v[n]=x[n+N],0\leq n\leq N-1$,则:
$\begin{aligned} X[k]&=\sum_{n=0}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{kn}+\sum_{n=N}^{2N-1}x[n]W_{2N}^{kn} \\ &=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_{2N}^{kn}+\sum_{m=0}^{N-1}x[m+N]W_{2N}^{k(m+N)}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{kn}+(-1)^k\sum_{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{kn} \end{aligned}$
对其进行频域抽取
$X[2r]=\sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{2rn}+\sum_{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{2rn}=G[k]+V[k],0\leq r \leq N-1$
$X[2r+1]=\sum_{n=0}^{N-1}g[n]W_{2N}^{(2r+1)n}-\sum_{n=0}^{N-1}v[n]W_{2N}^{(2r+1)n}=W_{2N}^{n}(G[k]-V[k])$
该算法也将 $2N$点的 $DFT$降为了2个 $N$点的 $DFT$。

  将上面时域抽取的实现框图中所有的 $x[n]$换成 $X[k]$,然后所有箭头反向，即输入变输出，输出变输入，得到的框图就是频域抽取实现的框图，由于我画不动了，我就不画了，等哪天有时间了再补上。