FFT算法的实现_1

本文章参考：http://tieba.baidu.com/p/2513502552
那一天，作者终于想起了他CSDN的密码，填坑完毕：）

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由于需要在Arduino上进行声音处理，需要用到FFT变换，查找了相关库过后发现FFT的库比较少，而且版本比较老了，挑编译器，也因为种种个人原因，索性自己来实现一个FFT变换，也当是对原来一脸懵逼地学完信号处理的一个交代。
FFT（快速傅里叶变换）变换本质就是DFT（离散傅里叶变换），但是对DFT进行了优化，减少了计算量并能够比较方便地用程序实现。这里是在Arduino平台上实现了一个基2的FFT算法，大致需要如下预备知识：

傅里叶变换的概念
复数的概念
欧拉公式

因为是用程序实现数学算法，要完全理解程序，肯定是会涉及到公式推导，但是这里的推导很简单，大概需要高中的数学知识即可。首先上DFT的公式，下面将由这个公式一步步推出FFT的算法。

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- i \frac{2 π k}{N} n}

$\Large X[k]=\sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i\frac{2\pi k}{N}n}$

学过傅里叶变换的话应该比较熟悉这个公式，它其实就是针对离散的采样点 $x[n]$ 的傅里叶变换，其意义还是将信号从时域转换到频域。那么这里的 $X[k]$ 表示的就是频域信号了，下标k表示信号的频率， $X[k]$ 的值就是该频率信号的幅值。这里可以看到，当k固定的时候，对应于频率为k的信号幅值是与 $x[n]$ 有关的一个级数的和，因此每一个频域的点实际上包含了所有时域点的信息。

有两点需要注意，一是因为 $x[n]$ 的长度为 $N$ ，因此 $DFT$ 后的频域信号 $X[k]$ 的长度也是 $N$ ；二是为了进行FFT变换， $N$ 的取值一般是2的整数次幂。

将下标n分解为奇偶两部分，然后分别求和
$\\$

X [k] = \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x [2 r] e^{- i \frac{2 π k}{N} 2 r} + \sum_{r = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x [2 r + 1] e^{- i \frac{2 π k}{N} (2 r + 1)}

$\Large X[k]=\sum\limits_{r=0}^{\frac N2-1} x[2r]e^{-i\frac{2\pi k}{N}2r}+\sum\limits_{r=0}^{\frac N2-1} x[2r+1]e^{-i\frac{2\pi k}{N}(2r+1)}$

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这里进行一次代换，用 $x_0[n]$ 表示 $x[n]$ 中的偶数项，用 $x_1[n]$ 表示 $x[n]$ 中的奇数项

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X [k] = \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{0} [n] e^{- i \frac{2 π k}{N / 2} n} + \sum_{n = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{1} [n] e^{- i \frac{2 π k}{N / 2} n - i \frac{2 π k}{N}}

$\Large X[k]=\sum\limits_{n=0}^{\frac N2-1} x_0[n]e^{-i\frac{2\pi k}{N/2}n}+\sum\limits_{n=0}^{\frac N2-1} x_1[n]e^{-i\frac{2\pi k}{N/2}n-i\frac {2\pi k}N}$

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第二项求和中， $\large e^{-i \frac {2\pi}Nk}$ 与 $n$ 无关，因此可以单独提出

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X [k] = \underset{对 x_{0} [n] 进 行 D F T}{\underset{⏟}{\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{0} [n] e^{- i \frac{2 π k}{N / 2} n}}} + e^{- i \frac{2 π}{N} k} \underset{对 x_{1} [n] 进 行 D F T}{\underset{⏟}{\sum_{n = 0}^{\frac{N}{2} - 1} x_{1} [n] e^{- i \frac{2 π k}{N / 2} n}}}

$\Large X[k]=\underbrace {\sum\limits_{n=0}^{\frac N2-1} x_0[n]e^{-i\frac{2\pi k}{N/2}n}}_{对x_0[n]进行DFT}+e^{-i \frac {2\pi}Nk}\underbrace{\sum\limits_{n=0}^{\frac N2-1} x_1[n]e^{-i\frac{2\pi k}{N/2}n}}_{对x_1[n]进行DFT}$

$\\$

X [k] = D F T (x_{0}) + e^{- i \frac{2 π}{N} k} D F T (x_{1})

$\Large X[k]=DFT(x_0)+e^{-i \frac {2\pi}Nk}DFT(x_1)$

$\\$
利用欧拉公式，将： $\large e^{-i \frac {2\pi}Nk}=\cos\frac {2\pi k}N-i\sin\frac {2\pi k}N$ 代入：

$\\$

X [k] = D F T (x_{0}) + (\cos \frac{2 π k}{N} - i \sin \frac{2 π k}{N}) D F T (x_{1})

$\Large X[k]=DFT(x_0)+(\cos\frac {2\pi k}N-i\sin\frac {2\pi k}N)DFT(x_1)$

$\\$
设： $X_0[k]=DFT(x_0)，X_1[k]=DFT(x_1)$

$\\$

X [k] = X_{0} [k] + (\cos \frac{2 π k}{N} - i \sin \frac{2 π k}{N}) X_{1} [k]

$\Large X[k]=X_0[k]+(\cos\frac {2\pi k}N-i\sin\frac {2\pi k}N)X_1[k]$

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因为这里 $x_0[n]$ 和 $x_1[n]$ 分别是 $x[n]$ 的偶数项和奇数项，因此它们的长度都是 $\large \frac N2$ ，所以 $X_0[k]$ 和 $X_1[k]$ 的长度也是 $\large \frac N2$ ，而 $X[k]$ 是 $X_0[k]$ 和 $X_1[k]$ 的线性组合，因此其长度也是 $\large \frac N2$ 。

前面已经提到，原式的变换中 $X[k]$ 的长度为 $N$ ，经过一轮变换之后其长度变为了 $\large \frac N2$ ，那岂不是意味着丢失了一半的频率信息吗？这肯定是不允许的，下面就利用 $DFT$ 的对称性找回这一半丢失的信息。

在此之前先引入旋转因子的概念：

旋转因子表示为：

W_{N} = e^{- i \frac{2 π}{N}} = \cos \frac{2 π}{N} - i \sin \frac{2 π}{N}

$\Large W_N=e^{-i\frac {2\pi}N}=\cos \frac{2\pi}N-i\sin \frac {2\pi}N$

$\\$
旋转因子的对称性：

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W_{N}^{k + \frac{N}{2}} = e^{- i \frac{2 π}{N} (k + \frac{N}{2})} = e^{- i \frac{2 π}{N}} * e^{- i π} = - e^{- i \frac{2 π}{N}} = - W_{N}^{k}

$\Large W_N^{k+\frac N2}=e^{-i\frac {2\pi}N(k+\frac N2)}=e^{-i\frac {2\pi}N}*e^{-i\pi}=-e^{-i\frac {2\pi}N}=-W_N^k$

$\\$
使用旋转因子表达将更简洁：

$\\$

X [k] = X_{0} [k] + W_{N}^{k} X_{1} [k]

$\Large X[k]=X_0[k]+W_N^kX_1[k]$

上面已经说到， $X_0[k]$ 和 $X_1[k]$ 的长度为 $\large \frac N2$ ，那么超出 $\large \frac N2$ 的部分会出现什么情况呢？事实上超出的部分将会呈周期性变化，即： $X_0[k+\frac N2]=X_0[k]$ ，这一点将 $k+\frac N2$ 代入 $X_0[k]$ 的表达式即可证明，这里就省去了。知道这一点后，我们用在上式中用 $k+\frac N2$ 代替 $k$ ：

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X [k + \frac{N}{2}] = X_{0} [k + \frac{N}{2}] + W_{N}^{k + \frac{N}{2}} X_{1} [k + \frac{N}{2}] = X_{0} [k] - W_{N}^{k} X_{1} [k]

$\Large X[k+\frac N2]=X_0[k+\frac N2]+W_N^{k+\frac N2}X_1[k+\frac N2]=X_0[k]-W_N^{k}X_1[k]$

至此已经得出了整个频域上的表达式：

$\\$

X [k] = X_{0} [k] + W_{N}^{k} X_{1} [k]

$\Large X[k]=X_0[k]+W_N^{k}X_1[k]$

X [k + \frac{N}{2}] = X_{0} [k] - W_{N}^{k} X_{1} [k]

$\Large X[k+\frac N2]=X_0[k]-W_N^{k}X_1[k]$

写了这么多公式，还没有讲到FFT，其实算到这里，已经完成了FFT的关键部分了。

下一篇中将完成算法的具体实现。

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