证明√2是无理数

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$\sqrt2$的由来

  公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯（Hippasus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数），这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧……更多见百度百科。
  说明白点，就是有个叫希伯索斯的人发现边长为$1$的正方形的对角线长度为$\sqrt2$，这个数无法用$\dfrac{p}{q}(p,q\in N)$的有理数表示。

证明$\sqrt2$是无理数

假设$\sqrt2$不是理数

$\therefore \sqrt2$是有理数

则令$\sqrt2=\dfrac{p}{q}(p、q互质且p\not=0,q\not=0)$

两边同时平方，$2=(\dfrac{p}{q})^2$

即$p^2=2q^2$

$\therefore p^2$必为偶数

$\therefore p$必为偶数

设$p=2m$

则$p^2=4m^2$

$\therefore q^2=2m^2$

$\therefore q^2$必为偶数

$\therefore q$必为偶数

综上，$p、q$都是偶数

$\because p、q$互质

$\therefore$ 原假设不成立

$\sqrt2$是无理数

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