数字图像处理成长之路13：SIFT之极值点(子像元插值）

很多关于SIFT算法都会写到极值点的定位，这篇文章也 离不开这以问题，然而这篇文章的重点是发现在定位的过程中用到的知识，这也是我写SIFT的目的，我究竟学会了哪些知识，上一篇我初步领略了尺度空间这一全新概念，这一篇我将学到子像素差值或者叫做亚像素差值。 
下面这个文章写的不错， 
http://www.cnblogs.com/ronny/p/4028776.html 
但是我们还是重新自己学习一下。

已知函数,求函数在[0,4]间的最大值。 
如果函数是离散的，那么最大值是5，但是函数是连续的，所以我们只能估计当x=1附近时有最大值。

接下来在x=1附近做泰勒展开用一阶二阶差分，近似代替一阶二阶导数， 
看这里的二阶导数差分近似，x点的二阶近似由x+1和x+2确定，偏离x点比较大，为了更贴近x点附近的值，我们对二阶导数稍微变换一下。由导数的定义，无论是向前差分还是向后差分，导数不变。

下面用程序求极值：

    double F [5] = {1,5,4,3,2};
    double Fdy = F[2]-F[1];
    double Fddy = F[2]+F[0]-2*F[1];

    double maxY, maxX;
    for (double x = 0; x < 4;x += 0.01)
    {
        double y ;
        y = F[1] + Fdy*(x - 1) + Fddy* (x-1)*(x-1)/2;
        if (y > maxY)
        {
            maxY = y;
            maxX = x;
            mydebug ("x: "<<maxX<<"  "<<"y: "<<maxY);
        }
    }

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打印输出信息：

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求得当x= 0.8时，函数最大值为5.1

对于二元函数泰勒展开： 

这是雅可比矩阵和黑塞矩阵的和。

写到这里，我大概理解SIFT算法为什么要弄尺度空间这样一个工具，并且强调其连续性，这一切准备都是为了要进行泰勒近似。让我们开看看SIFT的三元泰勒近似，即x,y,和sigma。

如何在编程中实现多元混合导数，即多元差分呢？有一篇文章写得挺好： 
http://www.dataguru.cn/thread-744150-1-1.html 
我们重新看一下差分，差分的三种方式为： 
，向前差分 
，向后差分 
，中心差分 
我们对中心差分进行泰勒展开，只展开到平方项： 
 
当两式相减有： 
把这个式子带入任一中心差分公式有： 
这些还都比较简单，我们的关键是要找二阶混合偏导数的差分表示，先来看看二元函数的泰勒展开，只展开到平方项： 
，仿照一阶差分的做法可得二阶差分中的混合偏导数： 

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现在回到我们的SIFT中，就可以用计算机来计算从离散的x，y，sigma空间到连续的空间的极值的逼近了。

写到这里大致把SIFT的中心思想总结完了，即类似子像元差值的思想，利用有限的离散数据来逼近或估计连续的数据中的极值，这是我学习SIFT算法最大的收获。

限于时间和精力，现在未能继续用c语言编写SIFT算法剩下的部分，待时间和精力充裕时或许再来完善它，相比于其他特征算法，SIFT还是相对复杂些，弄清楚了SIFT其他算法相比起来就容易一些了。