hdu5407 CRB and Candies(数论-Kummer定理)

题意

求lcm(C(n,0),C(n,1),…,C(n,n))，n<=1e6

思路来源

https://blog.csdn.net/u010579068/article/details/47833525

https://www.zhihu.com/question/34859879（关于Kummer定理及其LCM性质的证明）

题解

关于lcm(C(n,0),C(n,1),…,C(n,n))=lcm(1,2,…,n,n+1)/(n+1)的证明见知乎的贴子，

看了两天，没有看懂，可谓是见过的最毒瘤的题，勒让德定理部分还好，进位那里就不明白了

就记结论吧，lcm(C(n,0),C(n,1),…,C(n,n))=lcm(1,…,n+1)/(n+1)

然后怎么求lcm(1,…,n+1)呢，

如果一个数q是一个质因子p的k次方，说明这个数较前面的数来讲，多了一个质因数p因子，因此lcm要乘以p

否则，这个数就能用之前的质因数表示，

筛出1-1e6的素数，然后对形如p^k形式的再筛一遍存到isprime[]表里，令isprime[q]=p

如果isprime[q]，lcm[n]=isprime[q]*lcm[n-1],

否则lcm[n]=lcm[n-1]，

代码还是挺好写的，主要是数论题的沙雕证明太难了啊……

代码

#include <iostream>
#include <algorithm> 
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <functional>
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int maxn=1e6+10; 
const int mod=1e9+7;
const int MOD=998244353;
const double eps=1e-7;
typedef long long ll;
#define vi vector<int> 
#define si set<int>
#define pii pair<int,int> 
#define pi acos(-1.0)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sci(x) scanf("%d",&(x))
#define scll(x) scanf("%lld",&(x))
#define sclf(x) scanf("%lf",&(x))
#define pri(x) printf("%d",(x))
#define rep(i,j,k) for(int i=j;i<=k;++i)
#define per(i,j,k) for(int i=j;i>=k;--i)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) 
using namespace std;
ll jc[maxn],prime[maxn],isprime[maxn],cnt;
bool ok[maxn];
void init()
{
	for(ll i=2;i<maxn;++i)
	{
		if(ok[i])continue;
		 prime[cnt++]=i;
		for(ll j=i*i;j<maxn;j+=i)
		 ok[j]=1;
	}
	for(ll i=0;i<cnt;++i)
	{
		for(ll j=1;j<maxn;j*=prime[i])
		{
			isprime[j]=prime[i];
		}
	}
	jc[1]=1; 
	for(ll i=2;i<maxn;++i)
	{
		if(isprime[i])
		{
		 jc[i]=jc[i-1]*isprime[i];
		 if(jc[i]>=mod)jc[i]%=mod;
	    }
		else jc[i]=jc[i-1];
	}
} 
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	if(n==0)return 1;
	ll q=modpow(x,n/2,mod),res=q*q;
	if(res>=mod)res%=mod;
	if(n&1)res=res*x;
	if(res>=mod)res%=mod;
	return res;
}
int main()
{ 
   init();
   int t;
   sci(t);
   while(t--)
   {
   	int n;
   	sci(n);
   	ll inv=modpow(n+1,mod-2,mod);
   	printf("%lld\n",jc[n+1]*inv%mod);
   }
   return 0;
}