【矩阵加速】【数学】2019雅礼集训 math

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题目：

简单地说，就是对于n的每一个长度为m的划分（ $k_i>0$），求出其贡献的值之和。

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分析：

非常神奇的三角函数题：
首先，可以想到，划分问题有一个很经典的DP
定义 $DP(i,j)$表示将i划分为j个的方案数。
转移式为： $DP(i,j)=DP(i-1,j-1)+DP(i-j,j)$。即考虑划分状态中存在/不存在1的情况。存在1，则通过去掉那个1转移，不存在1，则通过每一位-1来转移。

考虑将这个DP方式套在这里：
定义 $f(i,j)$表示将n=i,m=j时的答案。
若m项中，存在1，则转移到 $f(i-1,j-1)*sin(x)$

若不存在1，此时不必所有项都-1，只需要某一项-1就能转移了：

首先通过和角公式得到：
$sin(k_ix)=sin((k_i-1)x)cos(x)+cos((k_i-1)x)sin(x)$

其中前半部分 $sin((k_i-1)x)$就是我们要的，但后半部分还不对。

继续运用和角公式：
$sin(x)cos((k_i-1)x)=sin(x)\{cos((k_i-2)x)cos(x)-sin((k_i-2)x)sin(x)\}$
把 $sin(x)$乘进去
$=sin(x)cos(x)cos((k_i-2)x)-sin^2(x)sin((k_i-2)x)$
因为 $sin^2(x)=1-cos^2(x)$
$=cos(x)\{sin(x)cos((k_i-2)x)+cos(x)sin((k_i-2)x)\}-sin((k_i-2)x)$
显然大括号里面的也是个和角公式。
$=cos(x)sin((k_i-1)x)-sin((k_i-2)x)$
综上所述：
$sin(k_ix)=2cos(x)sin((k_i-1)x)-sin((k_i-2)x)$
换言之：
$f(i,j)=2cos(x)f(i-1,j)-f(i-2,j)$
再加上之前的存在1的情况。
就是
$f(i,j)=2cos(x)f(i-1,j)-f(i-2,j)+f(i-1,j-1)$
然后，这个就可以矩阵加速了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100
using namespace std;
int n,m;
double tmp[MAXN][MAXN];
struct Matrix{
	double a[MAXN][MAXN];
	void operator *=(const Matrix & b) {
		for(int i=0;i<3*m;i++)
			for(int j=0;j<3*m;j++)
				tmp[i][j]=0;
		for(int i=0;i<3*m;i++)
			for(int k=0;k<3*m;k++)
				for(int j=0;j<3*m;j++)
					tmp[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j];
		for(int i=0;i<3*m;i++)
			for(int j=0;j<3*m;j++)
				a[i][j]=tmp[i][j];
	}
}res,e;
void fsp(Matrix &x,int y){
	while(y){
		if(y&1)
			res*=x;
		x*=x;
		y>>=1;
	}
}
int t;
int main(){
	SF("%d",&t);
	while(t--){
		double x;
		SF("%d%d%lf",&m,&n,&x);
		memset(res.a,0,sizeof res.a);
		memset(e.a,0,sizeof e.a);
		for(int i=0;i<m;i++){
			e.a[i][i]=2.0*cos(x);
			if(i!=m-1)
				e.a[i+1][i]=sin(x);
			e.a[i+m][i]=-1;
		}
		for(int i=m;i<2*m;i++)
			e.a[i-m][i]=1;
		res.a[0][m-1]=sin(x);
//		for(int i=1;i<n;i++){
//			res*=e;
//			for(int j=0;j<2*m;j++)
//				PF("%lf ",res.a[0][j]);
//			PF("\n");
//		}		
		fsp(e,n-1);
		double ans=res.a[0][0];
//		PF("[%lf]",ans);
		if(ans<0){
			PF("-");
			ans=-ans;
		}
		else
			PF("+");
		while(ans>=10.0)
			ans/=10.0;
		while(ans*10.0<10.0)
			ans*=10.0;
		PF("%d\n",int(ans));
	}
}