bzoj 5330: [Sdoi2018]反回文串

链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5330

难题做不来。。跑了跑了
如果按照loj的数据范围，我已经爆0了
首先，朴素的想法就是暴力控制 $n/2$位，然后乘个n
但是你会发现，会有很多重复
考虑怎么样不会有重复，我们对于每个串，不要加上n
我们加上一个数 $x$， $x$是这个回文串在将前缀x个位丢到后面会变成回文串
容易发现，这样就没有重复了
考虑一个东西的 $x$怎么算
猜了很多个与gcd有关的结论。。都被 $ABBAABBA$搞自闭了。。
但其实这个结论并不和gcd有关。。于是我就爆0了
我们先找他的循环节，设其长度为 $len$，如果 $len$为偶数，那么 $x$就是 $len/2$，否则就是 $len$，（这个结论怎么证呢？T_T）
我们设 $len$和 $x$的转化关系为 $h(len)$
解决了这个，那么每个串的贡献就之和他的循环节有关了
设 $f(i)$表示循环节为 $i$的回文串有多少个， $g(n)$表示长度为n的回文串
不难得到 $\sum_{d|n}f(n)=g(n)$
又是熟悉的配方反演一下可以得到
$f(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)$
根据定义可以得到 $ans=\sum_{d|n}f(d)*h(d)$
暴力把二式套进去，可以得到 $ans=\sum_{d|n}h(d)\sum_{k|d}g(k)\mu(\frac{d}{k})$
按照化式子的套路，我们把k提到前面枚举 $ans=\sum_{k|n}g(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}h(dk)\mu(d)$
然后陷入僵局。。
根据题解，我们尝试发现一些规律
首先，看一下这个 $h(dk)$能不能变成 $d*h(k)$
如果可以的话，那么式子的前后就变得很可做的样子
发现， $h(dk)≠d*h(k)$的情况，当且仅当 $dk$为偶数，且 $k$为奇数
我们再来观察一下当满足这些条件的时候 $\sum_{d|\frac{n}{k}}h(dk)\mu(d)$会变成什么
因为k是奇数，所以可以得到d是一个偶数，所以 $\frac{n}{k}$也是偶数
根据题解我们不妨直接讨论一个更大的范围，就是讨论 $k$为奇数 $\frac{n}{k}$为偶数的情况
要注意，这里对dk并没有要求，我们讨论了一个更大的范围
我们发现，假如我们只考虑 $\mu$不为0的情况
$d$含 $2$和不含 $2$的情况，刚好 $\mu$为相反数，且 $h(dk)$是一样的！
因此，我们可以跳过所有 $k$为奇数 $\frac{n}{k}$为偶数的情况，那么， $h(dk)$就可以提出来了
最后，式子变成了 $ans=\sum_{k|n}g(k)h(k)\sum_{d|\frac{n}{k}}d\mu(d)$

最后一步，考虑后面的是什么。依然考虑 $\mu$有值的情况，容易发现，这个东西就是 $\Pi(1-p_i)$，其中 $p_i$是 $\frac{n}{k}$的质因数

于是问题就解决了，用rho来分解找因数即可

终于写完了
感觉这题还是很有启发的啊
1.猜循环节有关的结论不要死在gcd里面，有时暴力+1，-1，/2，*2可能会有奇效
2.一些式子看起来不好搞的时候，试一下可不可以换掉，换成一些可以求的。比如说这里的莫比乌斯反演
3.化 $\mu$的时候还是要记住考虑 $\mu$不为0的情况
4.有时候观察一下不可以化简的部分是否可以忽略掉

顺便学了一发更快的rho
有个细节就是最后dfs的时候快速幂没有必要用快速乘，只有rho的时候才要，否则你会T飞
但其实并没有关系，因为我也不会做

最后是CODE：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL N=105;
LL T;
LL pri[14]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41};
LL gcd (LL x,LL y)	{return x==0?y:gcd(y%x,x);}
LL mul (LL x,LL y,LL MOD)
{
	x%=MOD;
	LL lalal=0;
	while (y>0)
	{
		if (y&1) lalal=(lalal+x)%MOD;
		x=x+x;if (x>=MOD) x-=MOD;
		y>>=1;
	}
	return lalal;
} 
LL Pow (LL x,LL y,LL MOD)
{
	x%=MOD;
	LL lalal=1;
	while (y>0)
	{
		if (y&1) lalal=mul(lalal,x,MOD);
		x=mul(x,x,MOD);y>>=1;
	}
	return lalal;
}
vector<LL> vec;	
bool check (LL p)
{
	for (LL u=1;u<=13;u++)
	{
		if (p==pri[u]) return true;
		if (p%pri[u]==0) return false; 
	}
	LL k=0,t=p-1;
	while (t%2==0) {t>>=1;k++;}
	for (LL u=1;u<=13;u++)
	{
		LL x=Pow(pri[u],t,p);
		for (LL i=0;i<k;i++)
		{
			LL y=mul(x,x,p);
			if (y==1&&x!=1&&x!=p-1) return false;
			x=y;
		}
		if (x!=1) return false;
	}
	return true;
}
LL rho (LL n)
{
	LL c=rand()%(n-1)+1,x=rand()%n,y=x,p=1,k=1;
	for (LL u=1;p==1;u++)
	{
		x=(mul(x,x,n)+c)%n;
		if (x==y) return n;
		p=gcd(n,x>y?x-y:y-x);
		if (u==k)	{y=x;k<<=1;}
	}
	return p;
}
void div (LL n)
{
	
	if (n==1) return ;
	if (check(n))	{vec.push_back(n);return ;}
	LL p=1;
	while (p==1) p=rho(n);
	div(p);div(n/p);
}
LL n,k,MOD;
LL a[N];
int b[N];
int tot;
LL ans;
LL H (LL x)	{return x&1?x%MOD:(x>>1)%MOD;}
LL Pow1 (LL x,LL y)
{
	x%=MOD;
	LL lalal=1;
	while (y>0)
	{
		if (y&1) lalal=lalal*x%MOD;
		x=x*x%MOD;y>>=1;
	}
	return lalal;
}
void dfs (int now,LL d,LL xx)
{
	if (now>tot)
	{
		LL nn=n/d;
		if (!(d&1)&&((nn)&1)) return ;
		ans+=Pow1(k,(nn+1)>>1)*H(nn)%MOD*xx%MOD;
		return ;
	}
	dfs(now+1,d,xx);
	xx=xx*(1-a[now])%MOD;
	for (int u=1;u<=b[now];u++)	{d=d*a[now];dfs(now+1,d,xx);}
}
int main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while (T--)
	{
		vec.clear();
		scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&MOD);k%=MOD;
		div(n);
		sort(vec.begin(),vec.end());
		int siz=vec.size();
		tot=0;
		for (int u=0;u<siz;u++)
		{
			if (tot==0||vec[u]!=a[tot]) {a[++tot]=vec[u];b[tot]=1;}
			else b[tot]++;
		}
		ans=0;
		dfs(1,1,1);
		printf("%lld\n",(ans%MOD+MOD)%MOD);
	}
	return 0;
}