LibreOJ #2563.「SDOI2018」反回文串 pollard_rho+莫比乌斯反演

题意

求所有长度为n字符集大小为k的字符串中有多少个字符串可以由某个回文串移位若干次后得到。
$n,k\le10^{18}$

分析

不难发现一个回文串移位若干位后一定可以得到一个合法的串，关键在于如何不重不漏的计数。
若一个回文串移位x次后得到的字符串也是一个回文串，则继续往后移位则必然会算重。
那移位多少次后会得到一个新的回文串呢？这显然跟原串的周期有关。
若周期T是偶数，则移位$\frac{T}{2}$次后就可以得到一个回文串，否则移位T次后可以得到回文串。
也就是说，一个周期为偶数的回文串的贡献为$\frac{T}{2}$，周期为奇数则贡献为T。
设$F(d)$表示有多少个字符串的周期为$d$，$G(d)=k^{\lceil\frac{d}{2}\rceil}$，$H(d)=\frac{d}{1+[d是偶数]}$显然有

$$G(n)=\sum_{d|n}F(d)$$
反演一下可以得到 $$F(n)=\sum_{d|n}\mu(d)G(\frac{n}{d})$$
那么 $$ans=\sum_{d|n}F(d)H(d)$$
$$=\sum_{d|n}H(d)\sum_{k|d}\mu(k)G(\frac{d}{k})$$
$$=\sum_{d|n}G(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)H(kd)$$
注意到当 $d$是奇数且 $\frac{n}{d}$是偶数时 $\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)H(kd)=0$，因为 $\mu(x)H(dx)$会和 $\mu(2x)H(2dx)$相互抵消，其中 $x$是奇数。对于其他情况不难得到 $H(kd)=kH(d)$
所以 $$ans=\sum_{d|n}G(d)H(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}\mu(k)k$$
$$=\sum_{d|n}G(d)H(d)\prod_{p_i|\frac{n}{d}}(1-p_i)$$
那么直接用pollard_rho分解质因数就好了。
写完交上去莫名超时，调了半天发现是对long long进行abs的时候会炸掉。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>

typedef long long LL;

LL n,k,MOD,prime[9]={2,3,5,7,11,13,17,19,23},tot,ans,a[105],b[105];

/*LL mul(LL x,LL y,LL mo)
{
    LL tmp=(x*y-(LL)((double)x*y/mo+0.1)*mo)%mo;
    tmp+=tmp<0?mo:0;
    return tmp;
}*/

LL mul(LL x,LL y,LL mo)
{
    LL ans=0;
    while (y)
    {
        if (y&1) (ans+=x)%=mo;
        x=x*2%mo;y>>=1;
    }
    return ans;
}

LL ksm(LL x,LL y,LL mo)
{
    LL ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=mul(ans,x,mo);
        x=mul(x,x,mo);y>>=1;
    }
    return ans;
}

LL gcd(LL x,LL y)
{
    if (!y) return x;
    else return gcd(y,x%y);
}

bool MR(LL n)
{
    if (n==2) return 1;
    if (n%2==0) return 0;
    LL w=n-1;int lg=0;
    while (w%2==0) w/=2,lg++;
    for (int i=0;i<9;i++)
    {
        if (n==prime[i]) return 1;
        LL x=ksm(prime[i],w,n);
        for (int j=0;j<lg;j++)
        {
            LL y=mul(x,x,n);
            if (y==1&&x!=1&&x!=n-1) return 0;
            x=y;
        }
        if (x!=1) return 0;
    }
    return 1;
}

LL rho(LL n)
{
    LL c=rand()%(n-1)+1,x1=rand()%n,x2=x1,p=1;int k=1;
    for (int i=1;p==1;i++)
    {
        x1=(mul(x1,x1,n)+c)%n;
        if (x1==x2) return p;
        p=gcd(n,x1>x2?x1-x2:x2-x1);
        if (i==k) x2=x1,k<<=1;
    }
    return p;
}

void divi(LL n)
{
    if (n==1) return;
    if (MR(n)) {a[++tot]=n;return;}
    LL p=1;
    while (p==1) p=rho(n);
    divi(p);divi(n/p);
}

LL H(LL n)
{
    return (n&1)?n:n/2;
}

LL ksm(LL x,LL y)
{
    LL ans=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ans=ans*x%MOD;
        x=x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ans;
}

void dfs(int x,LL d,LL y)
{
    if (x>tot)
    {
        if (!(d&1)&&((n/d)&1)) return;
        (ans+=ksm(k,(n/d+1)/2)*(H(n/d)%MOD)%MOD*(y%MOD)%MOD)%=MOD;
        return;
    }
    dfs(x+1,d,y);
    y*=(1-a[x]);
    for (int i=1;i<=b[x];i++)
    {
        d*=a[x];
        dfs(x+1,d,y);
    }
}

int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&MOD);
        k%=MOD;
        tot=0;
        divi(n);
        std::sort(a+1,a+tot+1);
        int tmp=0;
        for (int i=1;i<=tot;i++)
            if (!tmp||a[i]!=a[tmp]) a[++tmp]=a[i],b[tmp]=1;
            else b[tmp]++;
        tot=tmp;
        ans=0;
        dfs(1,1,1);
        printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
    }
    return 0;
}