旋转变换
旋转变换最为直观的表示方法是“轴-角”：绕着某一个过原点轴，旋转某一角度。
轴可以用一个单位长度的点[w1,w2,w3][w1,w2,w3]表示：原点到该点的射线即为此轴。
使用右手坐标系，拇指指向轴方向，四指方向即为旋转的方向。
一个旋转变换可以用用欧拉角、四元数或者旋转矩阵表示。以下讨论不同表示方法之间的关系，以及旋转变换的合成、取逆等操作。
旋转矩阵
旋转可以看做一种特殊的坐标变换，而坐标变换可以用用3×33×3矩阵RR来表示。对一个坐标施加旋转的结果是x′=Rxx′=Rx。
旋转矩阵可以在不同坐标系之间进行变换，但不能进行“反演”，即不能在左手系和右手系之间进行变换。
旋转矩阵是正交矩阵，即|R|=1|R|=1，旋转变换不改变向量的长度。
欧拉角的物理意义
任何一个旋转可以表示为依次绕着三个旋转轴旋三个角度的组合。这三个角度称为欧拉角。
三个轴可以指固定的世界坐标系轴，也可以指被旋转的物体坐标系的轴。三个旋转轴次序不同，会导致结果不同。
本文中提到的欧拉角指：绕着世界坐标系的x,y,z轴，依次旋转的结果。其取值范围如下：
θx∈(−π,π),θy∈(−π2,π2),θz∈(−π,π)
θx∈(−π,π),θy∈(−π2,π2),θz∈(−π,π)
欧拉角→→旋转矩阵
单独绕一个轴旋转θθ角度的旋转矩阵为：
如果依次绕x轴、y轴、z轴旋转，该变换的旋转矩阵为：
R=Rz⋅Ry⋅Rx
R=Rz⋅Ry⋅Rx
记三个轴欧拉角的正弦和余弦函数为sx,cx,sy,cy,sz,czsx,cx,sy,cy,sz,cz。使用matlab的syms功能可以轻松推导旋转矩阵RR：
⎡⎣⎢cyczcysz−syczsxsy−cxszcxcz+sxsyszcysxsxsz+cxczsycxsysz−czsxcxcy⎤⎦⎥
[cyczczsxsy−cxszsxsz+cxczsycyszcxcz+sxsyszcxsysz−czsx−sycysxcxcy]
旋转矩阵→→欧拉角
设旋转矩阵i行j列元素为rijrij。根据旋转矩阵的表达式，利用三角函数可以推导出欧拉角取值：
θx=atan2(r32,r33)
θx=atan2(r32,r33)
θy=atan2(−r31,r232+r233−−−−−−−√)
θy=atan2(−r31,r322+r332)
θz=atan2(r21,r11)
θz=atan2(r21,r11)
四元数的物理意义
设有一个通过原点[0,0,0][0,0,0]的旋转轴，该轴上单位长度的点为[w1,w2,w3][w1,w2,w3]。绕此轴旋转θθ角的变换可以用一个向量表示：
[cosθ2,w1sinθ2,w2sinθ2,w3sinθ2]
[cosθ2,w1sinθ2,w2sinθ2,w3sinθ2]
也记为q=[q0,q1,q2,q3]q=[q0,q1,q2,q3]，或者q=q0+q1i+q2j+q3kq=q0+q1i+q2j+q3k。四元数的模长为1：
q20+q21+q22+q23=cos2θ2+sin2θ2(w21+w22+w33)=cos2θ2+sin2θ2=1
q02+q12+q22+q32=cos2θ2+sin2θ2(w12+w22+w33)=cos2θ2+sin2θ2=1
四元数→→旋转矩阵
此段公式暂不确定，请您参看评论讨论
利用罗德里格旋转公式可以获得绕某过原点一轴[w1,w2,w3][w1,w2,w3]旋转某一角度θθ的旋转矩阵RR：
⎡⎣⎢cosθ+w21(1−cosθ)w1w2(1−cosθ)−w2sinθw1w2(1−cosθ)cosθ+w22(1−cosθ)w1sinθw2sinθ−w1sinθcosθ⎤⎦⎥
[cosθ+w12(1−cosθ)w1w2(1−cosθ)w2sinθw1w2(1−cosθ)cosθ+w22(1−cosθ)−w1sinθ−w2sinθw1sinθcosθ]
代入四元组的表示方法，可得：
⎡⎣⎢⎢1−2q22−2q232q1q2+2q3q02q1q3−2q2q02q1q2−2q3q01−2q21−2q232q2q3+2q1q02q1q3+2q2q02q2q3−2q1q01−2q21−2q22⎤⎦⎥⎥
[1−2q22−2q322q1q2−2q3q02q1q3+2q2q02q1q2+2q3q01−2q12−2q322q2q3−2q1q02q1q3−2q2q02q2q3+2q1q01−2q12−2q22]
旋转矩阵→→四元数
此段公式暂不确定，请您参看评论讨论
根据旋转矩阵的表达式，利用三角函数性质，可以由旋转矩阵得到四元数：
q0=1+r11+r22+r33−−−−−−−−−−−−−−−√2
q0=1+r11+r22+r332
q1=r32−r234q0
q1=r32−r234q0
q2=r13−r314q0
q2=r13−r314q0
q3=r21−r124q0
q3=r21−r124q0
开根号要求1+Tr(R)>01+Tr(R)>0（其中TrTr表示矩阵的迹，等于对角元素之和，也等于特征值之和），分式要求q0≠0q0≠0。
某些情况下（例如θ=πθ=π），q0q0接近零，Tr(R)Tr(R)接近-1，需要使用以下方式求解（来源于此处）。
如果r11,r22,r33r11,r22,r33中，r11r11最大：
S=1+r11−r22−r33−−−−−−−−−−−−−−−√
S=1+r11−r22−r33
q0=r32−r23S
q0=r32−r23S
q1=S/4
q1=S/4
q2=r12+r21S
q2=r12+r21S
q3=r21+r12S
q3=r21+r12S
如果r11,r22,r33r11,r22,r33中，r22r22最大：
S=1−r11+r22−r33−−−−−−−−−−−−−−−√
S=1−r11+r22−r33
q0=r13−r31S
q0=r13−r31S
q1=r12+r21S
q1=r12+r21S
q2=S/4
q2=S/4
q3=r23+r32S
q3=r23+r32S
如果r11,r22,r33r11,r22,r33中，r33r33最大：
S=1−r11−r22+r33−−−−−−−−−−−−−−−√
S=1−r11−r22+r33
q0=r21−r12S
q0=r21−r12S
q1=r13+r31S
q1=r13+r31S
q2=r23−r32S
q2=r23−r32S
q3=S/4
q3=S/4
变换的逆
使用欧拉角表示时，必须颠倒三个旋转轴的顺序，同时对旋转角度取反。
使用旋转矩阵表示时，求矩阵的逆即可：R∗=R−1R∗=R−1。
使用四元组表示时，考虑其物理意义，对后三位取反即可：q−1=[q0,−q1,−q2,−q3]q−1=[q0,−q1,−q2,−q3]。
向量的叉乘
接下去讨论之前，需要先复习向量的叉乘。
三维空间中的一个点可以表示为向量[xi,yj,zk][xi,yj,zk]，其中i,j,ki,j,k是三个坐标轴：[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1][1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]。
两个向量a,ba,b叉乘的结果是一个向量，其长度为|a||b|sinθ|a||b|sinθ。θθ表示从向量aa到bb的小于180°的角度。其方向垂直于a,ba,b所在平面，遵循右手定则：四指从aa转向bb，拇指方向为叉乘结果方向。
四元组作为一种向量，其叉乘涉及到虚数单位的乘法，遵循以下原则：
i×i=−1
i×i=−1
i×j=−j×i
i×j=−j×i
i×j=k,j×k=i,k×i=j
i×j=k,j×k=i,k×i=j
叉乘满足反交换律：
a×b=−b×a
a×b=−b×a
联想叉乘的物理意义：交换了a,ba,b顺序，则拇指方向反转。
叉乘满足加法分配律：
(a+b)×c=a×c+b×c
(a+b)×c=a×c+b×c
特别要注意，叉乘不满足结合律：
(a×b)×c≠a×(b×c)
(a×b)×c≠a×(b×c)
四元数的叉乘
四元数既不是矢量也不是标量。可以看做一个标量q0q0和一个三维矢量[q1,q2,q3][q1,q2,q3]的结合体：q=q0+q1i+q2j+q3kq=q0+q1i+q2j+q3k。
两个四元数a1+a2i+a3j+a4ka1+a2i+a3j+a4k，b1+b2i+b3j+b4kb1+b2i+b3j+b4k，相乘的结果q=a×bq=a×b：
q0=a1b1−a2b2−a3b3−a4b4
q0=a1b1−a2b2−a3b3−a4b4
q1=a1b2+a2b1+a3b4−a4b3
q1=a1b2+a2b1+a3b4−a4b3
q2=a1b3−a2b4+a3b1+a4b2
q2=a1b3−a2b4+a3b1+a4b2
q3=a1b4+a2b3−a3b2+a4b1
q3=a1b4+a2b3−a3b2+a4b1
四元数叉乘不满足交换律、结合律。
变换的组合
使用欧拉角表示时，很难直接组合两个变换。
使用旋转矩阵表示时，依次做矩阵相乘即可：R=R2R1R=R2R1。
使用四元组表示时，需要对两个四元组叉乘：q=q2×q1q=q2×q1。
注意，先发生的变换要放在乘号右侧。
由于叉乘不满足结合律，当有一系列变化q1,q2,q3...q1,q2,q3...陆续发生时，要用括号保证乘法发生的顺序：
q=q4×(q3×(q2×q1))
q=q4×(q3×(q2×q1))
使用四元数
首先把待旋转的点(x,y,z)(x,y,z)表示成四元数形式：p=[0,x,y,z]p=[0,x,y,z]。这里的四元数不再表示一个旋转，所以模长不一定为1。
对该点pp施加旋转变换qq，通过四元组的两次叉乘实现：p′=q×p×q−1=[0,x′,y′,z′]p′=q×p×q−1=[0,x′,y′,z′]。
利用matlab的syms功能（参看附录），可以得到对三维点[x,y,z][x,y,z]施加变换[q0,q1,q2,q3][q0,q1,q2,q3]的结果：
x′=x(q20+q21−q22−q23)+2y(q1q2−q0q3)+2z(q0q2+q1q3)
x′=x(q02+q12−q22−q32)+2y(q1q2−q0q3)+2z(q0q2+q1q3)
y′=2x(q0q3+q1q2)+y(q20−q21+q22−q23)+2z(−q0q1+q2q3)
y′=2x(q0q3+q1q2)+y(q02−q12+q22−q32)+2z(−q0q1+q2q3)
z′=2x(−q0q2+q1q3)+2y(q0q1+q2q3)+z(q20−q21−q22+q23)
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作者：shenxiaolu1984
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/shenxiaolu1984/article/details/50639298
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