FWT入门

1、用途

解决一些位运算的卷积，如：
$c_i=\sum_{j|k=i}a_j\times b_k$
$c_i=\sum_{j\&k=i}a_j\times b_k$
$c_i=\sum_{j\oplus k=i}a_j\times b_k$
（ $\oplus$ 是异或）

2、原理

把多项式 $A$ 、 $B$ 通过某种方式转为 $FWT(A)$ 、 $FWT(B)$ （另外一个多项式），然后得到 $FWT(C)=FWT(A)\times FWT(B)$ （这里的乘为两个多项式对应位置相乘），再把 $FWT(C)$ 逆变换，得到结果 $C$ 。

3、例子

or运算卷积

定义 $FWT(A)$ 的第 $i$ 项为 $\sum_{j|i=i}A_j$ ，显然通过这样构造是满足 $FWT(C)=FWT(A)\times FWT(B)$ 的。那么问题就是如何快速求出 $FWT(A)$ 。
这个东西其实可以用类似分治的方法求，因为 $A$ 是一个恰好有 $2^n$ 项的多项式，我们记它的前一半（即前面的 $2^{n-1}$ 项）组成的多项式为 $A_0$ ，后一半组成的多项式为 $A_1$ ，那么可以得到：
$\begin{cases} FWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))\ (n>0)\\ FWT(A)=A\ (n=0) \end{cases}$
$(A,B)$ 表示把 $A$ 、 $B$ 两个多项式拼接到一起。
正确性……我觉得挺显然的，大概是前面一半的最高位没有 $1$ ，后一半的最高位是 $1$ ，所以后面不会是前面的子集，而而后面的子集分为两个部分，一个是最高位为 $1$ ，一个是最高位是 $0$ ，大概就是这样理解。
代码实现的时候并不需要递归，像FFT那样就好了。
然后是逆变换，就把它反过来就好了：
$\begin{cases} UFWT(A)=(UFWT(A_0),UFWT(A_1)-UFWT(A_0))\ (n>0)\\ UFWT(A)=A\ (n=0) \end{cases}$

and运算卷积

这个东西和上面的本质是一样的，所以十分相像。
类似的定义此时 $FWT(A)$ 的第 $i$ 项为 $\sum_{j\&i=i}A_j$ 。
同样的得到 $FWT(A)$ 的求法：
$\begin{cases} FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))\ (n>0)\\ FWT(A)=A\ (n=0) \end{cases}$
以及逆变换：
$\begin{cases} UFWT(A)=(UFWT(A_0)-UFWT(A_1),UFWT(A_1))\ (n>0)\\ UFWT(A)=A\ (n=0) \end{cases}$

xor运算卷积

这个我觉得是最难的……因为我甚至无法感性理解……
由于作者水平所限，只好贴个公式就跑了……
$FWT(A)$ 的求法：
$\begin{cases} FWT(A)=(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))\ (n>0)\\ FWT(A)=A\ (n=0) \end{cases}$
以及逆变换：
$\begin{cases} UFWT(A)=({UFWT(A_0)+UFWT(A_1)\over 2},{UFWT(A_0)-UFWT(A_1)\over2})\ (n>0)\\ UFWT(A)=A\ (n=0) \end{cases}$

4、模板

void fwt(int *a,int op)
{
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	for(int j=0;j<N;j+=(i<<1))
	for(int k=0;k<i;k++)
	{
		/*xor*/
		int x=a[j+k],y=a[i+j+k];
		a[j+k]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
		if(op==-1)a[j+k]=(LL)a[j+k]*inv2%mod,a[i+j+k]=(LL)a[i+j+k]*inv2%mod;
		
		/*or*/
		a[i+j+k]=((a[i+j+k]+op*a[j+k])%mod+mod)%mod;
		
		/*and*/
		a[j+k]=((a[j+k]+op*a[i+j+k])%mod+mod)%mod;
	}
}