最近复习~~重新学习~~了一下FWT，然后做了一些乱七八糟的题目。。
注:下文中的 $\oplus$ 表示异或符号, $\cap$ 代表按位与， $\cup$ 代表按位或，带*标记的为好题集

顺便提一下 $O(n^2 2^n)$ 做子集卷积的方法，即求 $H[S]=\sum_{i\cup j=S,i\cap j=0}F[i]G[j]$ 。为了保证交起来为空集，枚举 $F,G$ 的元素个数 $a,b$ ，FWT之后只取元素个数为 $a+b$ 的值。

HDU5909 Tree Cutting

HDU

对于一个选择方案，我们仅在深度最小的那个节点上计算。设 $f[i][x]$ 表示i号节点上，异或和为x的方案数。不难得到转移方程：
$f[u][i]=\sum_{j\oplus k}f[u][j]*f[v][k]$
用fwt优化之。
时间复杂度 $O(nv\log v)$

BZOJ4589 Hard Nim

BZOJ

不难想到用 $f[x]$ 表示局面异或和为x的方案数，每堆石子都是等价的，所以就是n次方，快速幂即可
时间复杂度 $O(m\log m\log n)$

Codeforces 662C*

Codeforces

一道还挺有意思的题。注意到n很小，所以考虑把每一列上的数状压成一个整数。如果我们枚举了一个行的异或方案，那么每一列上就有唯一确定的权值，即要么全选0，要么全选1。考虑一个行的异或方案，就相当于是把每一列xor上一个数。那么我们可以构造 $a_i$ 表示有多少条列的状态为 $i$ , $b_i$ 表示状态i的最小代价。

$ans(s)=\sum_{i\oplus s=j} a_ib_j$
由于异或满足交换律，那么有
$ans(s)=\sum_{i\oplus j=s} a_ib_j$
用fwt优化之，时间复杂度 $O(n2^n)$

HAOI2015 按位或

BZOJ

首先要说明的一点是我们一般用 $\overline S$ 来表示S的补集。
可以考虑min-max容斥，然后我们要求的就是 $A[S]=\sum_{S\cap T} P[T]$
但是这个不好限制转化一下，考虑到 $\sum P[S]=1$ ，那么就有 $A[S]=1-\sum_{T\subseteq \overline S} P[T]$ 。后面的做一遍高维前缀和即可
时间复杂度 $O(n2^n)$

SPOJ kosare

鉴于spoj老挂，所以洛谷

用 $F[S]$ 表示选取的盒子并起来是S的子集的方案数，那么就可以子集反演得到恰好为S的子集的方案数。
设 $f[S]$ 为盒子为S的子集的方案数， $F[s]=2^{f[S]}-1$ ， $f$ 用高维前缀和搞一搞即可。
由于最后只询问一个值，可以不必做子集反演，可以 $O(n)$ 地扫一遍。
时间复杂度 $O(m2^m+n)$

SPOJ TLE

洛谷

用 $f[x]$ 表示考虑了前i个且以x结尾的方案数。不难得到转移方程
$f[i]=\sum_{i\cap j=0} f[j]=\sum_{j\subseteq \overline i} f[j]$
每次转移完暴力清空掉 $c[i]$ 倍数的方案即可。
时间复杂度 $O(nm2^m+nm)$

hihocoder1496 寻找最大值*

hihocoder

一道还挺有意思的题目，可以考虑枚举 $i\cap j$ 的值 $k$ ，那么我们就需要知道最优的 $i,j$ ，那么当然是选最大的。
因为我们难以保证 $i\cap j=k$ ，不妨放缩条件，维护 $k$ 的超集中的最大和次大值。这样显然不会漏掉最大值，而也不可能有一个不合法的解超过最优值，因为这个不合法的解的 $k$ 肯定偏小，那么必定存在一个相应的合法的解比它更大。
枚举超集用高维前缀和解决。
时间复杂度 $O(v\log v)$

FWT泛做