[LOJ]#6191. 「美团 CodeM 复赛」配对游戏 期望DP

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Description：

有 n 个人排成一排，一开始全部面向前方，然后随机朝左或是朝右转。

然后我们不断审查这个队列，每次选择两个面对面的相邻的人，将他们从队列中取出。

例如（> 表示向右，< 表示向左）：

队列 >>><<< 的消除过程为，>>><<< 到 >><< 到 >< 到空队列（每次去除一对）。
队列 >><><<<> 的消除过程为，>><><<<> 到 >><<<> 到 ><<> 到 <>（每次去除一对）。
求最后期望能够剩下多少人。

题解：

容易想到 $f_{i,j,k}$表示前 $i$个，剩下 $j$个(， $k$个)的概率。这样做的瓶颈在于状态数。
考虑如何减少状态，如果我们DP的是期望删除数，那么就可以不必记录)数量。
于是 $f_{i,j}$表示前 $i$个，剩下 $j$个(的期望删除数， $g_{i,j}$表示前 $i$个，剩下 $j$个(的概率即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=2010;
const int inf=2147483647;
int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
}
int n; 
double f[Maxn][Maxn],g[Maxn][Maxn];//前i  j个( 
int main()
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(g,0,sizeof(g));
	n=read();
	g[1][0]=g[1][1]=0.5;
	for(int i=1;i<n;i++)
	for(int j=0;j<=i;j++)
	{
		g[i+1][j+1]+=g[i][j]*0.5;
		if(j)g[i+1][j-1]+=g[i][j]*0.5;
		else g[i+1][j]+=g[i][j]*0.5;
		f[i+1][j+1]+=f[i][j]*0.5;
		if(j)f[i+1][j-1]+=f[i][j]*0.5+g[i][j];
		else f[i+1][j]+=f[i][j]*0.5;
	}
	double ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)ans+=f[n][i];
	printf("%.3lf",(double)n-ans);
}