康托展开Cantor expansion 例题

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CF501D Misha and Permutations Summation

题目

https://www.luogu.org/problemnew/show/CF501D

标题

这道题是裸的康托展开 一种很容易的想法是直接把a和b求出来，然后计算(a+b)modn!的值并直接求对应的排列，但是由于n的范围(n≤200000)
直接求值显然不可行。
因此，考虑全排列的康托展开(Cantor expansion) 任意一种排列在全排列中对应的序号为
∑i=1nai×i!
于是，将输入的两个排列分别写成这种形式，然后遍历n相加，由于结果需要对n!取模，因此从最低位开始逐项将ai加到ai+1上去，最后将最高位的an模掉n即可。之后，只要拟用康托展开即可求出对应的排列。
在实现过程中，由于需要维护"当前还没有使用过的第k大的数"，因此可以用树状数组BIT维护。恢复排列时用树状数组＋二分即可。
复杂度O(n(logn)^2)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
inline int read()
{
	int f=1,num=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while (isdigit(ch)) num=(num<<1)+(num<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	return num*f;
}
int n,a[maxn],b[maxn],f[maxn];
int tree[maxn];
inline int lowbit(int x)
{
	return x & -x;
}
inline void add(int x,int k)
{
    while (x<=n)
    {
    	tree[x]+=k;
    	x+=lowbit(x);
	}
}
inline int sum(int x)
{
	int ans=0;
	while (x)
	{
		ans+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
void init()
{
    memset(tree,0,sizeof(tree));
    for (int i=1;i<=n;++i)
		add(i,1);
}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;++i)
		a[i]=read()+1;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    	b[i]=read()+1;
    init();
    for (int i=1;i<n;++i)
	{
        int les=sum(a[i]-1);
        f[n-i]+=les;
        add(a[i],-1);
    }
    init();
    for (int i=1;i<n;++i)
	{
        int les=sum(b[i]-1);
        f[n-i]+=les;
        add(b[i],-1); 
    }
    for (int i=1;i<n;++i)
	{
        f[i+1]+=f[i]/(i+1);
        f[i]%=(i+1);
    }
    init();
    int sml=1;
    for (int i=n-1;i>=1;--i)
	{
        int l=1,r=n,tmp,ans=0;
        while (l<=r)
		{
            int mid=(l+r)>>1;
            tmp=sum(mid-1);
            if (tmp<=f[i])
				l=mid+1,ans=mid;
            else r=mid-1;
        }
        if (!ans)	ans=sml;
        printf("%d ",ans-1);
        add(ans,-1);
        while (!tree[sml])	++sml;
    }
    for (int i=1;i<=n;++i)
        if (tree[i])
		{
            printf("%d\n",i-1);
            break;
        }
    return 0;
}

UVA11525 Permutation

题目

https://www.luogu.org/problemnew/show/UVA11525

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e4+51;
inline int read()
{
	int f=1,num=0;
	char ch=getchar();
	while (!isdigit(ch)) { if (ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
	while (isdigit(ch)) num=(num<<1)+(num<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	return num*f;
}
struct SegmentTree
{
    int l,r,size;
}tree[maxn<<2];
int num;
inline void update(int now)
{
    tree[now].size=tree[now<<1].size+tree[(now<<1)|1].size;
}
inline void build(int l,int r,int now)
{
    tree[now].l=l,tree[now].r=r;
    if (l==r)
    {
        tree[now].size=1;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,now<<1);
    build(mid+1,r,(now<<1)|1);
    update(now);
} 
inline int findVal(int rk,int now)
{
    if(tree[now].l==tree[now].r)
    {
        tree[now].size=0;
        return tree[now].l;
    }
    int ans;
    if(rk<=tree[now<<1].size)
        ans=findVal(rk,now<<1);
    else
        ans=findVal(rk-tree[now<<1].size,(now<<1)|1);
    update(now);
    return ans;
}
int main()
{
    int n=read();
    for(register int i=0;i<n;++i)
    {
        int x=read();
        build(1,x,1);
        for(register int j=0;j<x;++j)
        {
            int num=read()+1;
            printf("%d",findVal(num,1));
            putchar(j==x-1?'\n':' ');
        }
    }
    return 0;
}