康托展开（Cantor expansion）

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射。所以可逆。

• 康托展开：给定一个数n,和一个n位的全排列，求出这个排列是第几位X

• 逆康托展开：给定一个数n，和这个排列占第几位X, 求出这个排列

这里X（注意第一个排列是X=0，所以为了方便，我们以后直接+1即可。）

an表示在从（1,2,3，…n）的顺序中，小于an并且没有被排列 的个数。

如34152，

• a5=2(只有1,2小于3)
• a4=2(3被排列了，只有1,2小于4)
• a3=0（没有比1小的）
• a2=1（1,3,4被排列，小于5的只有2）
• a1=0

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康拓展开代码实现，复杂度O(N*N)

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int factorial[20]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800}; 
int flag[20];
void cantor(int  *num,int n){
	int x=0;
	int tep=n-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){//遍历num数组 
		int cot=0;
		for(int j=1;j<num[i];j++)//找到小于num[i]的数字
		{
			if(j<num[i]&&flag[j]==0) cot++;	
		}
		flag[num[i]]=1;
		x+=cot*factorial[tep--]; 
	}
	cout<<x+1; 
}
int main(void)
{
	int num[20]={0,3,4,1,5,2};//求34152在排列中排多少
	int n=5;
	cantor(num,n);//n位 
 } 

输出34152是第62个排列

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逆康拓展开

前面讨论了X加不加1的问题，如果+1了，这里要-1；如果没有+1，不需要-1
例如 n=5,x=62,排列就是34152，看看如何计算出a5，a4…

• 首先减一：x=61
• a5=x/4!=61/4!=2,说明比首位小的有两个，所以a5=3。x=61%4!=13
• a4=13/3!=2,说明除去首位，比第二小的有2个，所以a4=4。X=13%3!=1
• a3=1/2!=0,说明除去首位和第二位，小于第三位的有0个，所以a3=1。x=1%2!=1
• a4=1/1!=1,所以，a4=5。x=1%1=0
• a5=0/1=0,所以a5=2.最后一个数
  即34152.

#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
int factorial[20]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800}; 
int nums[20]={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
vector<int>num(nums+1,nums+11); 
void decantor(int n,int x){
	vector<int>ans;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int a=x/factorial[i-1];
		x=x%factorial[i-1];
		ans.push_back(num[a]);
		num.erase(num.begin()+a);	
	}
	for(auto a:ans) cout<<a;
}
int main(void)
{
	int n=5;
	int x=62;
	decantor(n,x-1);//n位 
 }