树状数组彻底入门，算法小白都看得懂的超详细解析（转载）

转载自https://blog.csdn.net/Small_Orange_glory/article/details/81290634

树状数组,重点是在树状的数组

大家都知道二叉树吧

叶子结点代表A数组A[1]~A[8]

.......

现在变形一下

现在定义每一列的顶端结点C[]数组

如下图

C[i]代表子树的叶子结点的权值之和//这里以求和举例

如图可以知道

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

下面观察如下图

将C[]数组的结点序号转化为二进制

1=(001) C[1]=A[1];

2=(010) C[2]=A[1]+A[2];

3=(011) C[3]=A[3];

4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

5=(101) C[5]=A[5];

6=(110) C[6]=A[5]+A[6];

7=(111) C[7]=A[7];

8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

对照式子可以发现 C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i]; （k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度）例如i=8时，k=3;

可以自行带入验证;

现在引入lowbit(x)

lowbit(x) 其实就是取出x的最低位1 换言之 lowbit(x)=2^k k的含义与上面相同理解一下

下面说代码

    int lowbit(int t)
    {
        return t&(-t);
    }
    //-t 代表t的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
    //例如 :
    // t=6（0110） 此时 k=1
    //-t=-6=(1001+1)=(1010)
    // t&(-t)=(0010)=2=2^1

C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];

C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];

*************************************************分割线

区间查询

ok 下面利用C[i]数组，求A数组中前i项的和

举个例子 i=7;

sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[6]=A[5]+A[6]; C[7]=A[7];

可以推出: sum[7]=C[4]+C[6]+C[7];

序号写为二进制: sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];

再举个例子 i=5

sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5] ; 前i项和

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]; C[5]=A[5];

可以推出: sum[5]=C[4]+C[5];

序号写为二进制: sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];

细细观察二进制树状数组追其根本就是二进制的应用

结合代码

    int getsum(int x)
    {
        int ans=0;
        for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        ans+=C[i];
        return ans；
    }

对于i=7 进行演示

                              7(111)          ans+=C[7]

lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]

lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

对于i=5 进行演示

                              5(101)           ans+=C[5]

lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]

lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000)

*************************************************分割线

单点更新

当我们修改A[]数组中的某一个值时应当如何更新C[]数组呢？

回想一下区间查询的过程，再看一下上文中列出的图

树状数组彻底入门，算法小白都看得懂的超详细解析（转载）

猜你喜欢