2018.12.31【NOIP训练】三七二十一（生成函数）

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传送门

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解析：

设 $n$位数的答案为 $a_n$，则显然 $\{a_n\}$的生成函数为：
$A(x)=(1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...)^2\times (1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+...)^3$

对于这种同类排列需要去重，就需要指数型生成函数。当然现在拿到这样一个式子，如果你是真正的猛士，可以尝试暴力化简（也做得出来）。

一个稍微优美一点的方法是借助 $e^x$的Taylor展开：
$e^x=\sum_{i=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

那么我们有： $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+...$

所以原式的第一部分化简为： $1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...=(e^x+e^{-x})/2$

所以 $\begin{aligned} A(x)&=\frac{1}{4}(e^x+e^{-x})^2\times e^{3x}\\ &=\frac{1}{4}(e^{5x}+2e^{3x}+e^x)\\ &=\frac{1}{4}\sum_{i=0}^\infty (5^i+2\times 3^i+1)\times \frac{x^i}{i!} \end{aligned}$

所以 $a_i=\frac{1}{4}(5^i+2\times 3^i+1)$

这种难度全在推理的题就不放代码了，就一个快速幂。