拓展欧几里德算法的求解证明及基本应用

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拓展欧几里德要解决的问题就是给定方程 $ax+by==gcd(a,b)$，已知 $a，b$，求解 $x，y$且使 $|x|+|y|最小$，而且既然是欧几里德，顺便也能把 $gcd(a,b)$求出来
因此，拓展欧几里德也就可以解 $ax+by==c$这种方程了，虽然右边不是 $gcd(a,b)$但我们只要将得到的解乘以 $\frac{c}{gcd(a,b)}$即可
下面讲一下拓展欧几里德算法的证明

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首先已知 $ax_1+by_1==gcd(a,b)$，如果把 $a$换成 $b$， $b$换成 $a\%b$，那么这个方程也还是成立的，也就是 $bx_2+(a\%b)y_2==gcd(b,a\%b)$，然后我们由欧几里德可以知道 $gcd(a,b)==gcd(b,a\%b)$，那么上面的式子对应一下，就能得到 $ax_1+by_1==bx_2+(a\%b)y_2$，然后 $a\%b$又可以化成 $a-\lfloor (\frac{a}{b})\rfloor b$，那么就可以得到 $ax_1+by_1==bx_2+(a-\lfloor (\frac{a}{b})\rfloor b)y_2$，右边化简一下，把 $ay_2$提到前面就是 $ax_1+by_1==ay_2+b(x_2-\lfloor\frac{a}{b})\rfloor y_2)$，这样对应一下， $x_1=y_2，y_1=x_2-\lfloor (\frac{a}{b})\rfloor y_2$，最后我们还要注意到递归的边界条件，当 $b=0$时， $gcd(a,b)=a$，所以此时 $x=1,y=0$
所以就可以来写代码了

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return d;
}

一旦理解了算法，写起来就比较容易了

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逆元，逆元其实就是在一个代数系统下类似与倒数的定义，我们在这里定义的就是模n下的逆元，比如 $ab \equiv1(\%n)$，如果不考虑这个同模的话， $a/b$就是 $b/a$的倒数(逆元)，现在有了模n的情况，就不叫倒数，叫逆元了
所以求逆元一般就是指已知 $ab\equiv1(\%n)$，给定 $a/b$，求 $b/a$，然后还有一个限制就是只有 $a/b$和 $n$互质时，才有对应的逆元
现在假设有 $ax\equiv1(\%n)$，给定 $a$，求 $a$的逆元 $x$，因为刚才说 $a$要和n互质时才有逆元，所以 $gcd(a,n)\equiv1$，所以有 $ax+ny\equiv 1$，所以我们用拓展欧几里德求出 $x$即可，当然如果顺便得到的gcd值不为1，也就是两数不互质的话，就不存在逆元，返回-1

ll inv(ll a,ll m){
	ll x,y;
	ll d=exgcd(a,m,x,y);
	if(d==1){
		//x可能是负数
		return (x%m+m)%m;
	}
	return -1;
}

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拓展欧几里德还能用来解形如 $ax+by==c$的方程，其中有解的条件是 $gcd(a,b)|c$，所以其实方法就是先通过拓展欧几里德解出方程 $ax'+by'==gcd(a,b)$，然后 $x=\frac{x'c}{gcd(a,b)}，y=\frac{y'c}{gcd(a,b)}$，这得到的就是方程的一个特解，而通解就是 $x_0=x\pm \frac{kb}{gcd(a,b)}，y_0=y\mp\frac{ka}{gcd(a,b)}$，其中 $k$为任意整数，这个证明怎么得来的呢，有个比较简单的理解，我们现在已知 $ax+by==c$的一个特解 $x，y$，那么通解代入的形式肯定是 $a(x+???_1)+b(y+???_2)==c$，对比一下可以得出 $a???_1+b???_2==0$，那显然就是用 $gcd(a,b)$做分母，分子包含另一个的k倍即可，然后符号相反，就比如 $a\frac{kb}{gcd(a,b)}$和 $b\frac{-ka}{gcd(a,b)}$，这样凑齐来就是0了，因此这就是通解
然后很多情况下我们要求的是最小整数解，而且有时候有负数来捣乱，所以应该是 $x=(x\%abs(\frac{b}{d})+abs(\frac{b}{d}))\%abs(\frac{b}{d})$