欧几里德算法(Euclidean algorithm)又叫做辗转相除法,用于求最大公约数。这个算法已经十分常见了。扩展欧几里德算法(Extended Euclidean algorithm)是欧几里德算法的扩展(废话……),这个算法在解不定方程的时候十分常见。
搬运自:https://skywt.cn/posts/euclidean-algorithm/
原文公式按照KaTeX语法,与本文不同(当然我经过了修改~),如果本文中公式显示有异常可以到原文查看。
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本文中 (a,b) 或者 gcd(a,b) 表示 a、b 的最大公约数; a|b 表示 a 整除 b。
欧几里德算法/辗转相除法
在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语:Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》(第VII卷,命题i和ii)中,而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。、
——维基百科
代码
在我们日常的题目里辗转相除法已经十分常见了,最大公约数(Greatest Common Divisor)缩写为GCD,所以函数名就是gcd(当然扩欧的函数名就是exgcd)。其主要代码段是这样的:
int gcd(int a,int b){
if (b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
以上代码其实可以优化成以下这样(其实优化的是代码的复杂度,时间空间还是一样):
int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
原理和证明
辗转相除法的原理是什么呢?显然gcd(a,b)的作用是求出a、b的最大公约数(在数学语言里直接用(a,b)表示a、b的最大公约数)。如果b为0就返回a的值不难理解,这说明已经找到了最大公约数a。关键在于:
关于这个等式证明如下:
通俗点说,d是a、b两个数的公约数,又是b、a mod b的公约数,所以a、b的公约数集与b、a mod b的公约数集相同,它们的最大公约数必然也相同。(用 KaTeX 公式真是太爽了)
扩展欧几里德算法
扩展欧几里德算法(Extended Euclidean algorithm)就像是欧几里德算法的逆运算。
用途
主要有以下几种用途:
- 求解不定方程;
- 求解模线性方程(线性同余方程);
- 求解模的逆元。
求解不定方程的方法
个人觉得求解不定方程这个用途比较常见。可以方便地用来解这样的不定方程(传说中的裴蜀等式):
其实我们要解这个补不定方程,就要先解出ax+by=gcd(a,b)。基于这两个事实:
- 给予二个整数a、b,必存在整数x、y,使得 ax+by=gcd(a,b)。
- 对于方程 ax+by=c,当且仅当 gcd(a,b)|c 时这个方程有解。
容易证明,如果我们求出方程 ax+by=gcd(a,b) 的一组特殊解x0、y0,则最后方程解为:
那么如何“求出方程 ax+by=gcd(a,b) 的一组特殊解”?这时候拓展欧几里德算法就派上用场了。
代码
二话不说,先上代码:
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //x、y变量用来传递求得的特殊解
if(b==0){ //判断递归边界,b=0说明到底了
x=1;y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x; //先递归把之前的都做完
x=y;y=t-a/b*y;
return r;
}
原理与证明
先举个例子吧,求不定方程 1234x+4321y=1 的整数解。
首先求(1234,4321),过程如下:
我们得到了(1234,4321)=1。接下来用扩展欧几里德算法可以倒着推回去:
所以这一组特解就是:x=-1082, y=309。按照这样的思路,前面的程序就不难理解了。先递归求x和y,再把x“复原”。
来自:https://skywt.cn/posts/euclidean-algorithm/
参考
查数学知识的时候才意识到百度百科是多么地垃圾……
辗转相除法 - 维基百科,自由的百科全书
扩展欧几里得算法 - 维基百科,自由的百科全书
扩展欧几里德算法详解 - CSDN博客
欧几里德与扩展欧几里德算法 - jumping_frog - 博客园
欧几里德算法的扩展-求解不定方程 - void-man - 博客园
数论初步:辗转相除法和扩展欧几里得 - CSDN博客