Python “最短”挑战（12.22）

Description

有一组点均匀地分布在在一个周长为10000米的圆上。现在要再添加一些点进去，使得这些点仍均匀分布。如果仅可以沿圆周移动某些点，请你求总移动距离的最小值。

Input

有多行输入，每行两个数字n,m(2<=n<=1000,1<=m<=1000)，空格隔开，分别表示原先和要添加的点的数量，当输入0 0时，表示输入结束，程序退出。

Output

总移动距离的最小值，保留4位小数。
其余要求同首题。

Sample Input

2 1
2 3
0 0

Sample Output

1666.6667
1000.0000

Reference code

[n1,n2]=list(map(int,input().split(' ')))
while n1 and n2:
    print('%.4f'%sum(abs(i*10000/n1-(i+int(i*n2/n1+0.5))*10000/(n1+n2)) for i in range(n1)))
    [n1,n2]=list(map(int,input().split(' ')))
'''
while True:
    [n1,n2]=list(map(int,input().split(' ')))
    if n1==0 and n2==0:
        break
    ans=0
    x=[i*10000/n1 for i in range(n1)]
    y=[i*10000/(n1+n2) for i in range(n1+n2)]
    for i in range(n1):
        for j in range(n1+n2):
            if y[j]<=x[i]<=y[j+1]:
                ans+=min(x[i]-y[j],y[j+1]-x[i])
    print('%.4f'%ans)
'''

Algorithm Explain

这是一条略有难度的题目，其中的算法在数学上证明需要一点功夫。笔者在这里贴一下自己的解法：
我们将这个圆以其中一点为原点展开成一条线段，线段的左端点放点，右端点不放点。
用 $x_i$表示原来各点的坐标，有
$x_i=l \frac{i}{n_1} , 0 \leqslant i \leqslant n_1 , i \in \mathbb{Z} ,l=10000$

用 $y_j$表示之后各点的坐标，有
$y_j=l \frac{j}{n_1+n_2} , 0 \leqslant j \leqslant n_1+n_2 , j \in \mathbb{Z}$

则有
$x_i - y_j=l \left(\frac{i}{n_1}-\frac{j}{n_1+n_2} \right)$

要使每一个 $i$的 $\vert x_i-y_j \vert$最小，则 $j$一定满足以下两种情况之一：
$\left\{ \begin{aligned} x_i - y_j \geqslant 0 \\ x_i - y_{j+1} \leqslant 0 \end{aligned} \right. ①$

$\left\{ \begin{aligned} x_i - y_{j-1} \geqslant 0 \\ x_i - y_{j} \leqslant 0 \end{aligned} \right. ②$

解①得：
$j=i+\left[ \frac{n_2}{n_1}i \right]$

解②得：
$j=i+\left[ \frac{n_2}{n_1}i \right] +1$

当 $x_i - y_{j} \leqslant y_{j+1} - x_i$时取①，否则取②，此时有：
$\left\{ \frac{n_2}{n_1}i \right\}\leqslant \frac{1}{2}$

则可以得出，对于每一个 $i$，其对应的 $j$为：
$j =i+\left[ \frac{n_2}{n_1}i \right]+\left[\left\{ \frac{n_2}{n_1}i \right\} + \frac{1}{2}\right] \\ =i+\left[\frac{n_2}{n_1}i+\frac{1}{2}\right]$

但是，此题到这里还并没有结束，仔细思考后我们会发现，如果存在一种情况下， $x_i$移向 $y_j$， $x_{i+1}$也移向 $y_j$，这会导致两个点重合而存在空缺的点位，最终的总距离偏小。
那么，这种情况是否会存在呢？假设存在这种情况，则有
$\left\{ \begin{aligned} y_{j+1} - x_i \geqslant&amp; x_i - y_{j} \\ x_{i+1} - y_{j+1} \geqslant&amp; y_{j+2} - x_{i+1} \end{aligned} \right.$

上下相加得：
$2\left(x_{i+1} - x_i\right) &lt;y_{j+2}-y_j$

即
$\frac{l}{n_1}&lt;\frac{l}{n_1+n_2}$

即 $n_2&lt;0$，矛盾！！！
所以这种情况不存在。此题至此结束。