神经网络代价函数与交叉熵

在此我们以MSE作为代价函数：

其中， C表示代价函数，x表示样本， y表示实际值，表示实际值，表示实际值， a表示输出值，表示输出值， n表示样本的总数。为简单起见表示样本的总数。为简单起见表示样本的总数。

a=σ(z), z=∑W j*X j+b
σ() 是激活函数

使用梯度下降法(Gradient descent)来调整权值参数的大小，权值w和偏置b的梯度推导如下：

其中，z表示神经元的输入，σ表示激活函数。w和b的梯度跟激活函数的梯度成正比，激活函数的梯度越大，w和b的大小调整得越快，训练收敛得就越快。

假设我们的激活函数是sigmoid函数：

若我们的预测值为1，A点处的梯度大，能以较快的速度逼近预测值，B点梯度小，逼近速度较慢，这样效果比较好

若我们的预测值为0，A点出的梯度大，能以较快的速度逼近预测值，B点梯度小，逼近速度慢，效果差

我们希望在与预测值较远的点能以较快的速度逼近，较近的点一较慢的速度逼近。

接下来我们不改变激活函数，而是改变代价函数：

可得到如下结果：

这样在与预测值较远的情况下能以较快的速度逼近，较近的情况下，以较慢的速度逼近，符合想要的效果。

结论：1.交叉熵代价函数中，权值和偏置值的调整与无关，另外，梯度公式中的表示输出值与实际值的误差。所以当误差越大时，梯度就越大，参数w和b的调整就越快，训练的速度也就越快。
　　　 2.如果输出神经元是线性的，那么二次代价函数就是一种合适的选择。如果输出神经元是S型函数，那么比较适合用交叉熵代价函数。

　　　 3.对数释然函数常用来作为softmax回归的代价函数，如果输出层神经元是sigmoid函数，可以采用交叉熵代价函数。而深度学习中更普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的代价函数是
对数释然代价函数。

　　　 4.对数似然代价函数与softmax的组合和交叉熵与sigmoid函数的组合非常相似。对数释然代价函数在二分类时可以化简为交叉熵代价函数的形式。

　　　 5.在Tensorflow中用：
　　　　　　tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits()来表示跟sigmoid搭配使用的交叉熵。
　　　　　　 tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()来表示跟softmax搭配使用的交叉熵。

另外，可能产生过拟合问题：

此时我们可以在代价函数中加入正则项：，右式第二部分即为正则项。正则化的思想就是在代价函数中加入刻画模型复杂程度的指标。

关于防止过拟合的问题，在下一篇文章中做讨论。

import tensorflow as tf
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data

'''
##简单版本
##只有两层网络，输入层和输出层
'''

mnist = input_data.read_data_sets('MNIST_data',one_hot=True)

batch_size = 100
n_batch = mnist.train.num_examples // batch_size

x_train = tf.placeholder(tf.float32,[None,784])
y_train = tf.placeholder(tf.float32,[None,10])

w = tf.Variable(tf.zeros([784,10]))
bias = tf.Variable(tf.zeros([1,10]))
y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x_train,w) + bias)

# loss = tf.reduce_mean(tf.square(y - y_train))   #MSE代价函数
loss = tf.reduce_mean(tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits(labels=y_train,logits=y)) #交叉熵代价函数
#train = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.1).minimize(loss)
#train = tf.train.AdadeltaOptimizer(1e-3).minimize(loss)
train = tf.train.MomentumOptimizer(0.1,0.9).minimize(loss)

init = tf.global_variables_initializer()

correct = tf.equal(tf.argmax(y_train,1),tf.argmax(y,1))
accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct,tf.float32))

with tf.Session() as sess:
    sess.run(init)
    for epoch in range(31):
        for batch in range(n_batch):
            batch_xs,batch_ys = mnist.train.next_batch(batch_size)
            sess.run(train,feed_dict={x_train:batch_xs,y_train:batch_ys}) 
    
        acc = sess.run(accuracy,feed_dict={x_train:mnist.test.images,y_train:mnist.test.labels})
        print('iteration ', str(epoch),' accuracy: ',acc)

神经网络代价函数与交叉熵

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