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基本形式
逻辑回归是最常用的分类模型，在线性回归基础之上扩展而来，是一种广义线性回归。下面举例说明什么是逻辑回归：假设我们有样本如下（是我编程生成的数据）：
我们要做的是找到一个决策边界，把两类样本给分开，当有新数据进来时，就判断它在决策边界的哪一边。设边界线为线性函数
\[h_\theta(\vec x) = \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 \tag {1}\]取0时的直线，如下图：
我们的目标就是根据已知的样本来确定\(\vec\theta\)取值。
上图中，处在边界线左边的为负例（带入（1）式结果小于0），边界线右边的为正例（带入（1）式结果大于0）。从概率的角度考虑：把一个点代入（1）式，如果为正，且越大越离边界线远，它是正例的概率就越大，直到接近1；相反，把一个点代入（1）式，如果为负，且越小离边界线越远，它是正例的概率就越小，直到接近0；此外，把一个点代入（1）式，如果结果正好等于0，那么它在边界线上，为正例和为负例的概率都是0.5。
为了用数学的方式精确表达上面的概率论述，前人找到一个好用的函数：
\[s(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \tag{2}\]
这个函数叫做sigmoid（sigmoid：S形状的）函数（下文用S(z)或s(z)表示sigmoid函数），样子如下：
当\(z=0\)时，函数值为0.5，当\(z > 0\)时，函数取值\((0.5, 1)\)；当\(z < 0\)时，函数取值\((0, 0.5)\)，如果我们把欲判断点代入决策边界（1）式后得到的结果作为sigmoid函数的输入，那么输出就可以表示该点是正例的概率，简直完美。其实S型的函数应该还有别的，为什么前人独爱这个呢？那是因为，这个函求导比较简单，用链式法则可以非常容易算出其导数式为：
\[\frac{d}{z}s(z)=s(z)(1 - s(z)) \tag{3}\]
simgiod函数求导过程：
\[\begin{align}\frac{d}{z}s(z)&=-\frac{1}{(1+e^{-z})^2}\cdot e^{-z} \cdot -1 \\ &=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}\\ &=\frac{1+e^{-z}-1}{(1+e^{-z})^2}\\ &=\frac{1+e^{-z}}{(1+e^{-z})^2} - \frac{1}{(1+e^{-z})^2}\\ &=s(z) - s(z)^2\\ &=s(z)(1-s(z)) \end{align}\]
第一步用了链式法则。
代价函数
逻辑回归的代价函数可由极大似然估计法得出。我们暂且不管极大似然估计法的证明，直观地理解非常容易：如果你是一个班级的新老师，发现有个孩子考了95.5分，你肯定会认为这个孩子很可能是学霸，虽然学霸有时也会考低分，学渣有时也考高分，但是发生概率很小。更一般的叙述是：有若干事件A、B和C，已知其发生概率为分别为\(P(A|\theta)\)、\(P(B|\theta)\)和\(P(C|\theta)\)，如果我们观察到A、B和C已经发生了，那么我们就认为\(P(ABC|\theta)\)是个尽可能大的值，如果我们要求\(\theta\)，那么\(\theta\)应该是使得\(P(ABC|\theta)\)最大的那个值。如果A、B和C互相独立，我们所求的就是使得\(P(A|\theta)P(B|\theta)P(C|\theta)\)最大化的\(\theta\)。
设\(t_\theta(\vec x)=s(h_\theta(\vec x))\)已知：\[P(Y=y) = \begin{cases} t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 1} \\ 1 - t_\theta(\vec x), &\text{如果 y = 0} \end{cases}\]，写到一起：
\[P(Y=y)=t_\theta(\vec x)^y(1-t_\theta(\vec x))^{1-y} \tag{4}\]，根据（4）式写出极大似然函数：
\[l(\vec\theta)=\prod_{i=1}^mt_\theta(\vec x^{(i)})^{y^{(i)}}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \]，设代价函数\[j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\ln l(\vec\theta)\] ，最大化\(l(\vec\theta)\)即最小化\(j(\vec\theta)\)。求对数是为了方便计算，把乘法转换为加法，把幂运算转换为乘法，单调性不变；前面的负号是为了把求最大值问题转换为求最小值问题，习惯上，应用梯度下降法时都是求最小值，不然叫“梯度上升了法”了，手动滑稽。当然，使用梯度下降法的前提条件是函数是凸的，大叔懒得证明了，这个函数就是个凸函数，不管你们信不信，我反正是信了。进一步对上式化解得：
\[j(\vec\theta)=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\ln t_\theta(\vec x^{(i)}) + (1-y^{(i)})\ln(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))\right] \tag{5}\]
用梯度下降法求\(\vec\theta\)
将（5）式对\(\vec\theta\)求偏导：
- \(\frac{\partial}{\partial\theta_0}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_0^{(i)}\)
- \(\frac{\partial}{\partial\theta_1}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_1^{(i)}\)
- \(\cdots\)
- \(\frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)})-y^{(i)})x_n^{(i)}\)
如果读者对矩阵计算非常熟悉的话，应该可以看出，上式可以写成矩阵形式，这样计算更方便：
\[\frac{\partial}{\partial\vec\theta}=\frac{1}{m}X^T(T-Y)，其中，T=\begin{pmatrix}t_\theta(\vec x^{(1)})\\ t_\theta(\vec x^{(2)})\\ \vdots \\ t_\theta(\vec x^{(m)}) \end{pmatrix}\]
对\(j(\vec\theta)\)求导的过程如下，多次应用链式法则即可：
\[\begin{align} \frac{\partial}{\partial\theta_n}j(\vec\theta)&=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}\frac{1}{t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-t_\theta(\vec x^{(i)})}t_\theta(\vec x^{(i)})(t_\theta(\vec x^{(i)}) - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))h_\theta(\vec x)^\prime + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)h_\theta(\vec x)^\prime\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\left[y^{(i)}(1-t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)} + (y^{(i)})t_\theta(\vec x^{(i)} - 1)x_n^{(i)}\right]\\ &=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(y^{(i)} - t_\theta(\vec x^{(i)}))x_n^{(i)}\\ &=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(t_\theta(\vec x^{(i)}) - y^{(i)})x_n^{(i)} \end{align}\]
- 步骤1用到到了公式：\(\ln x^\prime = \frac{1}{x}\)
- 步骤2用到式（3）
有了偏导式后就可以编程了：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.e**(-z))
def draw_samples(X, Y, sample_count):
''' 绘制正负例. '''
positiveX1 = []
positiveX2 = []
negativeX1 = []
negativeX2 = []
for i in range(sample_count):
if Y[i, 0] == 1:
positiveX1.append(X[i, 0])
positiveX2.append(X[i, 1])
else:
negativeX1.append(X[i, 0])
negativeX2.append(X[i, 1])
plt.scatter(positiveX1, positiveX2, marker='+')
plt.scatter(negativeX1, negativeX2, marker='.')
def draw_border(theta):
'''绘制边界线'''
X = []
Y = []
for x in range(-2, 12):
X.append(x)
Y.append(-theta[0] / theta[2] - theta[1] / theta[2] * x )
plt.plot(X, Y)
def create_samples(samples_count):
''' 生成样本数据'''
X = np.empty((samples_count, 2))
Y = np.empty((samples_count, 1))
for i in range(samples_count):
x1 = np.random.randint(0, 10)
x2 = np.random.randint(0, 10)
y = 0
if x1 + x2 - 10 > 0:
y =1
X[i, 0] = x1
X[i, 1] = x2
Y[i, 0] = y
noise = np.random.normal(0, 0.1, (samples_count, 2))
X += noise
return X, Y
def grad(X, Y, samples_count, theta):
''' 求代价函数在theta处的梯度. '''
T = sigmoid(np.dot(X, theta))
g = np.dot(X.T, (T - Y)) / samples_count
return g
def descend(X, Y, samples_count, theta = np.array([[1],[1],[1]]), step = 0.01, threshold = 0.05):
''' 梯度下降.
Args:
X: 样本
Y：样本标记
theta：初始值
step：步长
threshold：阈值
Returns:
theta：求出来的最优theta
'''
g = grad(X, Y, samples_count, theta)
norm = np.linalg.norm(g)
while norm > threshold:
g = grad(X, Y, samples_count, theta)
norm = np.linalg.norm(g)
theta = theta - g * step
print(norm)
return theta
samples_count = 100
X, Y = create_samples(samples_count)
MatrixOnes = np.ones((100, 1))
X_with_noes = np.hstack((MatrixOnes, X)) # 添加等于1的x0
theta = descend(X_with_noes, Y, samples_count)
plt.xlabel('$x_1$')
plt.ylabel('$x_2$')
draw_samples(X, Y, samples_count)
draw_border(theta.flatten())
plt.show()运行结果：
上面的代码中，我在样本矩阵中增加了一列为1的元素，这样做是为了计算方便，使得样本矩阵的列数等于欲求\(\vec\theta\)的行数，满足矩阵乘法的要求，加上这一列对结果没有影响，请参考大叔学ML第二：线性回归
扩展
- 和线性回归一样，逻辑回归也存在过拟合的情况，可以通过添加一范数、二范数正则化来解决
- 和线性回归一样，逻辑回归的决策边界可以是曲折的多项式，可参考大叔学ML第三：多项式回归，依葫芦画瓢来搞定决曲折的决策边界
- 和线性回归一样，逻辑回归也可以扩展到多余3维的情况，只是不可以做可视化了，代数原理是一致的
- 和线性回归不一样，逻辑回归应该没有“正规方程”，大叔昨天按照线性回归的正规方程的推导思路推导并未得出结果，查资料也未果
- 除了梯度下降法，牛顿法和拟牛顿法也是迭代下降算法，而且下降效率更好，大叔稍后将会写一篇博文介绍之
祝元旦快乐！