【Usaco 2009 Feb】Bullcow 牡牛和牝牛

【题目】

传送门

Description

约翰要带 $n(1≤n≤100000)$ 只牛去参加集会里的展示活动，这些牛可以是牡牛，也可以是牝牛。牛们要站成一排。但是牡牛是好斗的，为了避免牡牛闹出乱子，约翰决定任意两只牡牛之间至少要有 $k(0≤k<n)$ 只牝牛。

请计算一共有多少种排队的方法。所有牡牛可以看成是相同的，所有牝牛也一样。答案对 $5000011$ 取模。

Input

一行，输入两个整数 $n$ 和 $k$。

Output

一个整数，表示排队的方法数。

Sample Input

4 2

Sample Output

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6

HINT

$6$ 种方法分别是：牝牝牝牝，牡牝牝牝，牝牡牝牝，牝牝牡牝，牝牝牝牡，牡牝牝牡

【分析】

牡（ $mǔ$）牛，公牛的意思，牝（ $pìn$）牛，母牛的意思

好啦这不是这道题的重点，重点是这道题的算法

不难发现，如果有 $x$ 头牡牛，一定会有 $(x-1)\cdot k$ 头牝牛，也就是说牡牛只能在剩下的 $n-(x-1)\cdot k$ 个位置上选，方案数就是 $C^{\;\;\;\;\;\;\;x}_{n-(x-1)\cdot k}$

那么循环枚举有多少个牡牛，按公式计算答案后累加，到 $x>n-(x-1)\cdot k$ 退出就可以了

最后吐槽一下，数据范围是不是有误啊，数组开小导致 WA 了好久

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 1000005
#define Mod 5000011
using namespace std;
int fac[N],inv[N];
int Power(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		  ans=1ll*ans*a%Mod;
		a=1ll*a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
void prework()
{
	int i;
	fac[0]=fac[1]=1;
	for(i=2;i<N;++i)  fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[N-1]=Power(fac[N-1],Mod-2);
	for(i=N-2;~i;--i)  inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%Mod;
}
int C(int n,int m)
{
	return 1ll*fac[n]*inv[m]%Mod*inv[n-m]%Mod;
}
int main()
{
	prework();
	int n,k,i,num,ans=1;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		num=n-(i-1)*k;
		if(i>num)  break;
		ans=(ans+C(num,i))%Mod;
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}