图象的全变分和去噪

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全变分(Total variation),也称为全变差,是图象复原中常用的一个名词。本文简要介绍全变分的概念以及在图象去噪中的应用。

一维信号的全变分和去噪

一维连续函数的全变分

一维连续实函数f(x)f(x)在区间[a,b]⊂R[a,b]⊂R上的全变分定义为参数曲线x→f(x),x∈[a,b]x→f(x),x∈[a,b]的弧长。其表达式为

Vba(f)=∫ba|f′(x)|dx
Vab(f)=∫ab|f′(x)|dx
说白了,所谓的“变分”就是|f(x+Δx)−f(x)||f(x+Δx)−f(x)|,对于连续函数Δx→0Δx→0。而全变分是对函数定义的区间而言的,就是将“变分”在区间上累加起来。

一维离散信号的全变分

从上面连续实函数的全变分,我们可以很容易想到它的离散形式。给出信号序列{yi},i=1,..,n{yi},i=1,..,n,它的全变分定义为

V(y)=∑i=1n|yi+1−yi|
V(y)=∑i=1n|yi+1−yi|
用一句话来概括,全变分是前后项之差的绝对值之和。

一维信号去噪

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当我们得到观察信号xixi,希望xixi变得平滑,也就是对xixi去噪。一种很直观的想法就是让信号的全变分变小。全变分对应的物理意义就是输入信号的平滑度。设得到的恢复信号为yiyi,它应该满足两个条件:

yiyi与观察信号xixi的差距不大。这个差距的常用数学表达式就是
E(x,y)=12∑i(xi−yi)2
E(x,y)=12∑i(xi−yi)2
yiyi的全变分不大。
将物理约束转化为数学模型,求解yy等价于求解下面这个优化问题:

minyE(x,y)+λV(y)
minyE(x,y)+λV(y)
其中参数λλ是正常数,用于调节两个约束的作用大小。注意到E(x,y)E(x,y)和V(y)V(y)都是凸函数,这是一个无约束凸优化问题,有很多经典方法可以求解。

二维离散信号(图象)的全变分和去噪

图象是典型的二维离散信号,Rudin在1992年将其全变分定义为

V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2+|yi,j+1−yi,j|2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2+|yi,j+1−yi,j|2
这个函数是各项同性的,但是不可微,也并不是凸函数。非凸函数的优化求解难度、速度和稳定性都无法与凸函数相比。因此二维全变分有另一种常用定义 
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2−−−−−−−−−−−√+|yi,j+1−yi,j|2−−−−−−−−−−−√=∑i,j|yi+1,j−yi,j|+|yi,j+1−yi,j|
V(y)=∑i,j|yi+1,j−yi,j|2+|yi,j+1−yi,j|2=∑i,j|yi+1,j−yi,j|+|yi,j+1−yi,j|
这个函数是凸函数了。

仿照一维信号的去噪,基于全变分的图象去噪可以看成求解优化问题

minyE(x,y)+λV(y)
minyE(x,y)+λV(y)
其中E(x,y)E(x,y)作为数据误差项定义为

E(x,y)=12∑i,j(xi,j−yi,j)2
E(x,y)=12∑i,j(xi,j−yi,j)2
当VV有凸函数形式时,问题变为无约束凸优化问题,从而容易求解。
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作者:TomHeaven 
来源:CSDN 
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