快速幂(Fast_Power)

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定义

快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。

其时间复杂度为 O(log2N)， 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。

以下以求a的b次方来介绍

原理

把b转换成2进制数

该2进制数第i位的权为（2^(i-1)）

例如

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1 0 1 1

11 = 2^3*1 + 2^2*0 + 2^1*1 + 2^0*1

因此，我们将a^11转化为算a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)[1]

int Fast_Power(int a, int b){
    int ans = 1;
    while(b>0){
        if(b % 2 == 1)
            ans *= a;
        b >>= 1;
        a *= a;
    }
    return ans;
}

由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，一般题目会要求mod某个数c；

int PowerMod(int a, int b, int c){
    int ans = 1;
        a = a % c;
    while(b>0){
        if(b % 2 == 1)
            ans = (ans * a) % c;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

JAVA版本一

private static int Fast_Power(int a, int b) {
    int s = 1;
    while (b > 0) {
        if (b % 2 == 1) {//b=b>>1保证了在最后一步肯定会执行该if判断
            s = s * a;
        }
        a = a * a;
        b = b >> 1;
    }
    return s;
}