Capacity Facility Location Problem

编程语言 2018-12-23 09:50:51 阅读次数: 0
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Capacity Facility Location Problem

CFLP

Capacity Facility Location Problem，即有容量限制的设施选址问题，更准确地说，这次解决的问题为 SSCFLP（Single Source Capacity Facility Location Problem），其对资源的分配更为严格：每个顾客只能由一个设施来服务。下面我们来更准确地描述这个问题：

  1. 给定 m 个工厂，n 个用户
  2. 每个工厂有容量 ci 、建设费用 fi ( 1 <= i <= m )
  3. 每个用户有需求 di (1 <= i <= n)
  4. 对于每个用户 i ，不同的设施 j 的服务费用不同，表示为 costij
  5. 每个用户只能由一个设施服务，即 Single Source

求建设设施和服务每一个用户的费用总和的最小值。

方案

从问题描述来看，我们大概就能看出它并不是个善茬，它没有办法像解 LeetCode 上的题一样，用上一个简单算法，就能准确地求解，而事实上，它确实也是个 NP 难问题，所以穷搜绝对是行不通的，无论时间、空间服务度都是爆炸性的。所以不妨试试人工智能课上学到的近似求解方法：爬山法、模拟退火法、遗传算法以及禁忌搜索等。在这次实验中，我将依次使用贪心算法、局部搜索法（爬山法）、模拟退火法来逐渐提高解的质量。

贪心算法

对于每个用户 i ，不同的设施 j 的服务费用不同，利用这一点，我们可以想到一个简单的贪心策略：依次遍历每个用户 m ，找到其服务费用最少的设施 i：

  • 如果设施 i 已开
    • 如果容量不足，寻找服务费用仅次于它的下一个设施 j
    • 如果容量充足，就选定 i
  • 如果设施 i 未开，找到对该用户服务费用最少且容量充足的已开设施 j
    • 如果 ( fj + costmi ) < costmj ，则选设施 i
    • 否则，选设施 j

局部搜索法

我先用上述贪心算法产生一个初始解，这样可以减少算法的收敛时间，事实上贪心算法得到的解质量很差，这也就不用担心一开始就陷入局部最优啦，不过最重要的还是怎么去配合这个初解搜索领域，我使用了 4 种邻域搜索策略：

  1. 选定两个顾客，交换他们的服务设施，邻域空间为 n(n-1)/2
  2. 选定两个顾客，然后反转他们的服务设施，例如 [1, 3, 4, 2]，我选中了顾客0和顾客3，则结果为 [2,4,3,1]，邻域空间为 n(n-1)/2
  3. 选定两个已开设施，交换它们的客户，邻域空间为 O(m(m-1)/2)
  4. 选定一个顾客，将其转移到其它设施（已开和未开都行）

前三种策略是在已固定建设哪些设施的情况下，对顾客选择进行优化；而最后一种则是进一步在设施选址空间上进行扩张，而在实验过程中，证明在添加第 4 种策略后，解的质量会更上一层楼！

每次随机采用其中一种策略搜索邻域，如果找到更好的解，则接收；否则更换策略，直至再无策略可用。

模拟退火

与局部搜索算法略微不同的地方在于：局部搜索不接受比当前解更差的解。模拟退火有一个跳出局部最优的机制：若搜索的解劣于当前解，以一定的概率（与温度有关，温度越高概率越大）接受该劣解。

模拟退火的框架伪代码如下：

while temperature > lower_bound
	for i=1:100
    new_solution = search()
    dcost = cost(new_solution) - cost(current_solution)
    if dcost < 0
    	current_solution = new_solution
    else 
      exp(-dcost / temperature) to receive new_solution
  temperature *= COOLING_RATE

效果

贪心只是我拿来做局部搜索或模拟退火的一个踏板，所以我们主要看看后两者的效果，因为时间不太够，模拟退火没有细致地去调参，只是根据经验去随意设置了一下，同时在跑的时候，发现如果每次搜索邻域都穷搜某种搜索策略的解空间，耗时是相当恐怖的，所以我就限制了一下。下面是每种算法跑5次，目前最优 是这15次中最优的一次，模拟退火有时不比局部搜索做得好，有可能是还未收敛，但是可以看到，有些测例都跑了10来分钟了。

如果想看最优解，请直接拉到本文的最下面。

Result(avg.) Time(s)
样例 目前最优 贪心 局部搜索 模拟退火 贪心 局部搜索 模拟退火
1 9929 16511 11579 10282 0 0 55
2 8928 12899 9803 9132 0 0 62
3 10420 18441 11604 10583 0 0 57
4 11811 22698 13116 12381 0 0 59
5 10209 17830 10561 10856 0 0 36
6 9025 12930 9679 9494 0 0 43
7 11204 20782 11726 11436 0 0 41
8 12334 23191 12833 13356 0 0 27
9 9543 13788 9849 9708 0 0 66
10 8778 11172 9102 8909 0 0 72
11 10221 20501 10468 10308 0 0 70
12 11397 21717 13049 11665 0 0 65
13 9271 17143 10588 9890 0 0 71
14 8113 12419 9001 8659 0 0 78
15 9955 16778 11502 10543 0 0 78
16 11805 23752 12232 12352 0 0 75
17 9297 18344 9993 9698 0 0 78
18 8482 12005 8808 8805 0 0 73
19 9804 18851 11202 10555 0 0 78
20 11890 22479 12402 12540 0 0 59
21 8826 16099 10114 9064 0 0 87
22 8375 11524 8859 8608 0 0 77
23 9956 17018 10803 10206 0 0 77
24 11015 22259 11794 11352 0 0 88
25 11630 18366 12073 13346 0 3 402
26 10575 17971 11573 12029 0 3 398
27 12675 18773 12795 13816 0 3 369
28 14642 25728 16824 16232 0 3 332
29 12630 21995 12932 13820 0 4 378
30 12109 17967 12658 12762 0 4 356
31 13628 27093 13765 15131 0 4 435
32 16054 29694 16129 20256 0 4 192
33 11620 17118 11647 14072 0 3 296
34 10928 17622 12332 11658 0 3 406
35 12200 17141 12286 15068 0 4 317
36 14878 22775 16029 16852 0 4 290
37 11120 15844 11120 13157 0 3 348
38 11297 15195 11361 12511 0 3 325
39 11901 17114 11902 13210 0 3 427
40 13717 24008 13752 15440 0 3 353
41 8573 13167 9546 8912 0 1 94
42 6629 11575 7738 7060 0 1 223
43 6171 9792 6430 6552 0 1 156
44 12374 18451 13174 13395 0 1 27
45 8883 15770 11415 9320 0 1 136
46 7250 13892 8888 7835 0 1 179
47 12685 16332 12712 12948 0 1 42
48 10027 14261 10632 10450 0 1 86
49 7769 12797 8979 8037 0 1 188
50 9090 17751 11050 10266 0 1 87
51 7832 14101 8700 8500 0 2 117
52 14609 22692 14664 15705 0 1 24
53 11501 22551 13895 13334 0 1 116
54 13973 21306 14144 14571 0 1 16
55 11213 17165 11270 11607 0 1 33
56 25124 59819 27108 31148 0 6 460
57 30710 79894 32541 34222 0 7 608
58 43147 91094 43499 47083 0 8 505
59 33837 80237 35415 39206 0 8 260
60 25244 60131 28786 28055 0 7 982
61 30486 77549 33256 37008 0 8 439
62 40912 85249 40932 49723 0 7 365
63 34003 75808 34060 42836 0 6 209
64 29000 53376 30956 32939 0 6 667
65 30425 77373 33441 34241 0 7 927
66 38756 82973 39061 42316 0 7 727
67 31497 71488 33885 37669 0 7 697
68 25423 57529 26849 31796 0 6 601
69 31741 75376 33173 35143 0 10 792
70 37340 82376 40269 43537 0 9 560
71 33110 77388 33281 37094 0 8 523

代码

贪心算法

void CFLP::greedySearch() {
  reset();
  for (int i = 0; i < numOfCustomers; ++i) {
    int index = findAvailableMinIndex(costForServing[i], i);
    facilityToServe[i] = index;
    restCapacityOfFacilities[index] -= demandOfCustomers[i];
  }

  if (!checkValid(openedFacilities, facilityToServe)) return;

  cost = computeCost(openedFacilities, facilityToServe);
}

int CFLP::findAvailableMinIndex(float *costs, int customer) {

  /* construct index for costs for all facilities */
  vector<pair<int, float> > indexAllCost = constructSortedIndexCost(fullList, costs);
  /* construct index for costs for opened facilities */
  vector<pair<int, float> > indexOpenedCost = constructSortedIndexCost(openedFacilities, costs);

  int index = 0;
  while (1) {
    int realIndex = indexAllCost[index].first;
    /* it's in opened facilities */
    if (openedFacilities[realIndex] == 1) {
      /* this facility's capacity is not enough */
      if (restCapacityOfFacilities[realIndex] < demandOfCustomers[customer]) 
        index++;
      /* it's enough */
      else 
        return realIndex;
    } 
    /* otherwise */
    else { 
      /* no opened facilities */
      if (indexOpenedCost.size() == 0) {
        openedFacilities[realIndex] = 1;
        return realIndex;
      }
      /* find avaliable faciliry to serve */
      int i = 0;
      while (i < indexOpenedCost.size()) {
        int realOpenedIndex = indexOpenedCost[i].first;
        if (restCapacityOfFacilities[realOpenedIndex] < demandOfCustomers[customer]) 
          i++;
        else 
          break;
      }
      /* no avaliable facility to serve */
      if (i == indexOpenedCost.size()) {
        openedFacilities[realIndex] = 1;
        return realIndex;
      }
      /* compare cost between (open_cost + serve_cost) and (opened_serve_cost) */
      if ((costOfFacilities[realIndex] + costs[realIndex]) <= indexOpenedCost[i].second) {
        openedFacilities[realIndex] = 1;
        return realIndex;
      } else {
        int realOpenedIndex = indexOpenedCost[i].first;
        return realOpenedIndex;
      }
    }
  }
}

局部搜索

void CFLP::localSearch() {
	reset();
  /* base on greedy search solution */
  greedySearch(); 

  int stable_times = 0;
  while (stable_times < 500) {
    int choice = rand() % 4;
    float oldCost = cost;
    switch(choice) {
      case 0:
        exchangeServe();
        break;
      case 1:
        inverse();
        break;
      case 2:
        exchangeCustomers();
        break;
      case 3:
        transfer();
        break;
    }
    if (cost < oldCost) stable_times = 0;
    else ++stable_times;
  }
}

模拟退火

/**
 * simulated annealing,
 * 
 * @params(it): initial temperature
 * @params(cr): cooling rate
 */
void CFLP::SA(float it, float cr) {
  reset();
  /* base on greedy search solution */
  greedySearch();

  float opt_cost = cost;
  vector<int> opt_openedFacilities = openedFacilities;
  vector<int> opt_facilityToServe = facilityToServe;

  temperature = it;
  cooling_rate = cr;
  int stable_times = 0;

  while (temperature > 0.1 && stable_times < 700) {
    for (int i = 0; i < 1000; ++i){
      int choice = rand() % 5;
      float oldCost = cost;
      switch(choice) {
        case 0:
          exchangeServe("sa");
          break;
        case 1:
          inverse("sa");
          break;
        case 2:
          exchangeCustomers("sa");
          break;
        case 3:
        case 4:
          transfer("sa");
          break;
      }

      if (oldCost == cost) ++stable_times;
      else {
        stable_times = 0;
        if (cost < opt_cost) {
          opt_cost = cost;
          opt_openedFacilities = openedFacilities;
          opt_facilityToServe = facilityToServe;
        }
      }
    }
    temperature *= cooling_rate;
  }

  openedFacilities = opt_openedFacilities;
  facilityToServe = opt_facilityToServe;
  cost = opt_cost;
}

完整代码还是移步 gayhub 吧

目前最优解

1
9929
1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 
5 7 8 3 9 9 5 6 3 0 6 6 0 9 6 9 5 0 7 9 7 6 3 5 6 9 5 9 0 3 3 8 5 0 3 7 9 3 6 6 5 7 8 8 5 7 0 3 5 6 

2
8928
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
5 7 8 2 9 2 5 6 7 2 6 3 4 0 6 4 5 0 3 9 7 6 3 5 6 9 5 7 0 3 3 8 2 0 3 7 9 3 6 4 5 7 8 8 5 7 0 2 4 6

3
10420
1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 
5 7 8 2 5 2 5 6 7 2 6 3 0 0 6 2 5 0 3 2 7 6 3 5 6 2 5 7 0 3 3 8 2 0 3 7 6 3 6 8 5 7 8 2 5 7 0 2 5 6 

4
11811
1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 
5 7 0 2 5 2 5 6 7 2 6 3 3 0 6 2 5 0 3 2 7 6 3 5 6 2 5 7 0 3 3 0 2 0 3 7 6 3 6 6 5 7 0 2 5 7 0 2 5 6

5
10209
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 
5 7 8 2 9 9 5 6 3 2 6 3 0 0 6 9 2 0 7 9 8 6 3 5 6 9 5 7 0 3 3 8 2 1 3 7 9 3 6 8 5 7 8 8 1 7 0 2 0 6

6
9025
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
5 7 8 2 9 9 5 6 3 2 6 3 4 0 6 4 5 0 7 9 7 6 3 5 6 9 8 9 0 3 3 8 2 0 3 7 9 3 6 4 5 7 8 8 5 7 0 2 4 6

7
11204
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
5 7 8 2 7 2 5 6 7 2 6 3 4 0 6 9 2 0 7 9 7 6 3 5 6 4 5 7 0 3 3 8 2 0 3 8 9 3 9 4 5 7 8 8 5 7 0 2 4 6 

8
12334
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
5 7 8 2 9 2 5 6 3 2 6 3 4 9 6 4 5 4 2 9 7 6 3 5 6 9 8 7 4 3 3 8 2 4 3 7 9 3 6 4 5 7 8 8 5 7 8 2 4 6 

9
9543
0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 
5 5 8 8 9 9 5 6 3 3 6 6 3 9 6 9 5 6 3 9 8 6 3 5 6 9 5 9 1 3 3 8 5 1 3 8 9 3 6 8 5 1 8 8 1 3 8 3 5 6 

10
8778
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 
5 7 8 8 9 9 5 6 3 0 6 3 4 0 6 4 5 0 3 9 7 6 3 5 6 9 5 7 0 3 3 8 5 0 3 7 9 3 6 4 5 7 8 8 5 7 0 3 4 6 

11
10221
0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 
5 7 8 2 7 2 5 6 3 2 6 3 4 4 6 4 5 6 3 7 7 6 3 5 6 2 5 7 3 3 3 8 2 4 3 7 6 3 6 4 5 7 8 8 5 7 8 2 4 6

12
11397
0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 
5 7 8 8 9 9 5 6 3 3 6 3 3 9 6 9 5 6 7 9 7 6 3 5 6 9 5 7 3 3 3 8 5 9 3 7 9 3 6 8 5 7 8 8 5 7 8 3 5 6

13
9271
1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 
0 6 14 17 4 14 12 8 5 4 12 5 8 6 12 17 4 0 12 1 15 4 4 14 14 17 15 0 5 6 1 0 17 4 15 8 0 6 6 15 0 6 1 17 4 5 1 14 1 8 

14
8113
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 
0 13 14 15 7 14 19 14 15 4 6 7 15 6 15 13 4 13 7 1 19 4 4 14 19 13 15 7 19 6 1 0 6 4 0 1 0 6 6 1 0 13 19 19 4 7 0 14 13 7

15
9955
1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 
0 13 14 18 4 14 12 19 18 4 18 18 15 6 12 13 4 0 12 13 19 14 4 14 19 13 15 18 19 6 4 0 6 4 0 15 0 6 6 15 0 13 19 19 4 14 12 15 13 18

16
11805
1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 
0 6 2 2 4 11 17 11 5 4 11 5 17 6 11 19 4 0 0 11 19 4 4 5 19 17 11 11 5 6 4 0 17 4 2 5 0 6 6 2 0 6 19 17 4 5 17 5 2 2 

17
9297
1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 
0 13 1 17 8 14 12 8 17 6 9 9 8 6 12 13 4 0 0 1 8 14 4 9 14 17 4 0 17 6 1 0 17 4 9 8 0 6 12 1 0 13 1 17 6 4 12 14 13 8 

18
8482
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