离线处理，LCA的Tarjan算法 HDU 2586

首先，什么是离线算法，在线算法呢。在查询问题中，离线算法需要先将所有查询全部输入，然后统一计算，最后再同意输出。就比如下面介绍的Tarjan求LCA；在线算法就是像前面树上倍增求LCA一样，预处理（求倍增过程中所需要的量们）所花费的时间相对于整个程序来说较大，而查询速度相对整个程序来说很快。

LCA的Tarjan算法的核心是“向上标记”，即不同的点有不同的标记，没访问的点无标记，即为“0”、访问过但没有回溯的点标记为“1”、访问过并且回溯过的点标记为“2”。然后在dfs序的支配下，一个即将被回溯的“1”节点与当前树中任意一个回溯过的“2”节点的最近公共祖先LCA即为：“2”点到根节点的路径上的第一个“1”节点。

最后找“2”型节点到根节点路径上第一个“1”型节点的操作，可以用并查集优化，即那个“1”型点就是并查集中对应联通块中的代表元素：find（x）。

PS：补充小知识，并查集的时间复杂度可以近似为o（1）。

例题：HDU2586 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586

AC代码：

/*离线算法，Tarjan求LCA，复杂度o(n+m)*/
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define ll long long
using namespace std;
const int SIZE=50010;
int ver[2*SIZE],Next[2*SIZE],edge[2*SIZE],head[SIZE];//邻接表
int fat[SIZE],dist[SIZE],v[SIZE],ans[SIZE];//并查集fat、节点距离根节点的距离、标记数组、两点间距离
vector <int> query[SIZE],query_id[SIZE];//某次查询的x、y；该查询的 查询标号
int T,n,m,tot;//多组输入、n、吗、邻接表边数、
void add(int x,int y,int z)
{
    ver[++tot]=y;
    edge[tot]=z;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
}
void add_query(int x,int y,int id)//离线：添加查询
{
    query[x].push_back(y);
    query_id[x].push_back(id);
    query[y].push_back(x);
    query_id[y].push_back(id);
}
int find(int x)
{
    if(x==fat[x])return fat[x];
    return fat[x]=find(fat[x]);
}
void unionn(int x,int y)
{
    int fa=find(x),fb=find(y);
    if(fa!=fb)
    {
        fat[fa]=fb;
    }
}
void tarjan(int x)//dfs
{
    v[x]=1;
    for(int i=head[x];i;i=Next[i])
    {
        int y=ver[i];
        if(v[y])continue;
        dist[y]=dist[x]+edge[i];//dfs求树中节点到根节点的距离，PS：不是深度。
        tarjan(y);
        unionn(y,x);
    }
    for(int i=0;i<query[x].size();++i)
    {
        int y=query[x][i],id=query_id[x][i];
        if(v[y]==2)
        {
            int lca=find(y);//x、y的公共祖先

            ans[id]=dist[x]+dist[y]-2*dist[lca];//公式求答案

            //ans[id]=min(ans[id],dist[x]+dist[y]-2*dist[lca]);书上这么写的，但没必要
        }
    }
    v[x]=2;
}
int main()
{
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n>>m;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            head[i]=0;
            fat[i]=i;//一系列初始化;
            v[i]=0;
            query[i].clear();
            query_id[i].clear();
        }
        tot=0;
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int x,y,z;
            cin>>x>>y>>z;
            add(x,y,z);
            add(y,x,z);
        }
        for(int i=1;i<=m;++i)//离线
        {
            int x,y;
            cin>>x>>y;
            if(x==y)ans[i]=0;
            else
            {
                add_query(x,y,i);
                ans[i]=(1<<30);
            }
        }
        tarjan(1);//离线

        for(int i=1;i<=m;++i)cout<<ans[i]<<endl;
    }
    return 0;
}

The end；

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