时间复杂度在关心些什么
如果接触过算法，那么对于算法的时间复杂度分析一定不陌生，因为时间复杂度是算法优劣的一个重要评价标准。
对于一个算法，我们不光关心它在某个规模输入的情况下耗时多少，我们更关心的是，当输入规模疯狂增长的时候，算法耗时增加多少，是按线性形式增加的？指数增加的？对数形式增加的？比如当你的算法接收的输入规模从k个数变到nk个数时，你的耗时是增加了n倍（线性速度增加）？还是增加了n2倍（平方的速度）？还是增加了log(n)倍（对数形式增加）。
时间复杂度是一个函数，它描述了算法的运行时间，并且给出了运行时间与输入规模之间的关系。
时间复杂度的分析记号：O(), Ω(), Θ()，o(), w()
对于时间复杂度的分析，我们都是使用渐进分析，这种分析方法关注地核心就是算法耗时会如何随着输入规模增长？我们使用三种记号来说明这个问题。
我们使用字母n来表示输入的规模
1. O()
符号O()表示了一种上界的感觉，也是我们常说的大O表示法，O()在这三种符号中用得最多，因为涉及到时间复杂度分析，我们经常会考虑最坏情况，因为在代码的实际运用中，首先最坏情况发生的可能性还不小，其次我们需要衡量最坏情况发生的结果我们是否能接受。
它的定义也用到了极限的思想，因为渐进分析，就包含有当n趋于无穷的意思。如果学过数学分析，了解ε-Δ语言，那么一定对这块儿的定义不会陌生。
g(n) ϵ O(f(n))： 存在常数c和n0 > 0，对所有的n > n0，我们有g(n) ≤ cf(n)。尽管定义使用的是属于符号，因为他们是函数集合的运算，但是实际运用时我们会把属于号记成等于，我们经常听说的，这个算法时间复杂度是O(n2)就来自于此。
这个符号内含的意义就是，当我规模变得很大的时候，规模再怎么增大，我的耗时一定能被一个函数（f(n)）乘一个常数( c )控制住。
例子：2n2+27 = O(n2): 我们找到n0 = 10，c = 3，很容易验证对所有n > n0我们都有2n2+27 < 3n2
2. Ω()
符号Ω()表示了一种下界的感觉，和O()定义差不多，只是不等号改变了。
g(n) ϵ Ω(f(n))： 存在常数c和n0 > 0，对所有的n > n0，我们有g(n) ≥ cf(n)
这个符号内含的意义就是，当我规模变得很大的时候，规模再怎么增大，我的耗时一定比这个下界函数（f(n)）乘一个常数( c )控制住，不管怎么样，总存在一个规模使得程序耗时会超过这个下界的。
例子：2n2+27 = Ω(n2): 我们找到n0 = 1，c = 1，很容易验证对所有n > n0我们都有2n2+27 > n2
3. Θ()
符号Θ()表示了一种紧的感觉，他包含了O()和Ω()，把一个函数上下界都固定了边界，在n趋于很大规模的时候，形成了一个控制带控住了这个函数。
g(n) ϵ Θ(f(n))： g(n) ϵ O(f(n))并且g(n) ϵ Ω(f(n))
这个符号内含的意义就是，当我规模变得很大的时候，规模再怎么增大，我的耗时一定比这个下界函数（f(n)）乘一个常数( c )控制住，不管怎么样，总存在一个规模使得程序耗时会超过这个下界的。
例子：2n2+27 = Θ(n2): 因为我们之前使用的例子表示了n2既是2n2+27的上界也是下界，找这个上下界的时候n0和c可以找的不一样（上界对应的n0和c是10和3，下界对应的n0和c是1和1，两者不需要统一）
4. o()
符号o()表示了一种强上界的感觉，和O()定义差不多，只是条件更加严格了，对于所有c>0，那个上界都是上界。
g(n) ϵ o(f(n))： 存在n0 > 0，任取c>0，对所有的n > n0，我们有g(n) ≤ cf(n)。
这个符号内含的意义就是，当达到一定规模后，我的耗时永远都超不过上界函数（f(n)），不管c怎么帮我，c取0.01，0.000000001，耗时最后还是会比这个上界函数少，这是由于我的增长速度本质上就是慢过这个上界函数。
例子：2n2+27 = o(n3): n2的增长速度本质上就是比n3慢。我们最后找出的n0会是c的函数。
5. w()
符号o()表示了一种强下界的感觉，和Ω()定义差不多，只是条件更加严格了，对于所有c>0，那个下界都是下界。
g(n) ϵ w(f(n))： 存在n0 > 0，任取c>0，对所有的n > n0，我们有g(n) ≥ cf(n)。
这个符号内含的意义就是，当达到一定规模后，我的耗时总会超过这个下界函数（f(n)），不管c怎么帮它，c取100，100000000，耗时最后还是会比这个下界函数多，这是由于我的增长速度本质上就是快过这个下界函数。
例子：2n2+27 = w(n): n2的增长速度本质上就是比n快。我们最后找出的n0会是c的函数。
时间复杂度的计算方法
对于算法的耗时的公式，一般不会像上面那样的例子直接给你一个清楚的2n2+27这种清晰的公式。比如许多时候我们会遇到递归这种情况，就会出现算法耗时的递推公式。
例子1：选择排序
给n个没排好序的数，我们从这列数先选出最小的那个排最前面，然后再从剩下没排好序的数继续选最小的排，持续下去。这种递归每次问题规模减小1，所以我们有耗时的递推公式如下：T(n)=T(n-1)+cn，我的n个数排序耗时等于我选好个最小的时间加上剩下n-1个数进行排序，从n个数里选最小的数耗时cn因为我们要浏览这n个数。
例子2：归并排序
对于给n个没排好序的数排序，我们可以把它平均拆解成两份，每份是n/2个数，再对这n/2个数进行排序，排好后，我们对左右两边进行融合，这需要浏览这n个数才可以按顺序融合好。所以耗时递推公式如下：T(n) = T(n/2) + cn
对于这些有递推公式的时间复杂度的计算，有如下方法可以解决：
1.猜想并用数学归纳法证明
2.迭代，比如T(n)=T(n-1)+cn，把n替换成n-1，我们也知道T(n-1) = T(n-2)+c(n-1)，所以我们可以把T(n)写开：
T(n)=T(n-1)+cn = T(n-2)+c(n-1)+ cn = … = T(1) + c*2+… + c(n-1)+cn
这样就可把T(n)一直迭代下去，到表达成我们已知的信息，比如T(1)
3.借助递归树，比如T(n) = 2*T(n/2) + cn，我们可以把这个递归表达成如下树结构：
T(n)是这棵树所有结点值的总和，他等于根结点的值加左右子树的所有结点值总和，而左右子树和原树的区别就是n变成了n/2。所以有T(n) = 2T(n/2)（这是左右子树结点值的总和）+cn（这是根结点的值）。
注意到这树的每一层加起来都是cn，所以T(n) = cn × 这个树的高度。这个树一直会分叉到1，所以高度是log2(cn)，因为高度表示的就是cn需要分叉几次到1，就是对cn求对数。
所以T(n) = cn × log2(cn)，T(n) = Θ(nlog2n)
更一般的：T(n) = aT(n/b) + cnk, T(1) = c,
a ≥ 1, b > 1, c > 0 and k ≥ 0
我们也可以画出如下递归树后算出T(n)的值
同样也是每行相加都呈现一个规律性的值，再对T(n)进行分析，最后有如下结论：
对于T(n) = aT(n/b) + cnk, T(1) = c,
a ≥ 1, b > 1, c > 0 and k ≥ 0
有：
1.当a < bk, T(n) = Θ(nk)
2.当a = bk, T(n) = Θ(nklogn)
3.当a > bk, T(n) = Θ(n^logba)
总结
1.我们首先谈及了时间复杂度的定义，我们最关心的就是算法的耗时增长的速率，是呈什么函数形式增长的。
2.接下来我们通过符号，将时间复杂度的表示进行了量化，包括给了上界，下界，紧，强上界，强下界的这些类似概念，很好地区刻画了一个算法的时间随着规模增长的形式和规律。
3.我们对算法的时间复杂度计算方法进行了一个初步的介绍，并对递归的算法给出了一个综合性的公式。