【DP】加法最大&乘积最大

加法最大

Description

设有一个长度为n的数字字符串，分成k+1个部份，使其k+1部份相加的和为最大。例如：数字串’340670’，k=1，其加法有
　3+40670=40673 34+0670=704 340+670=1010 3406+70=3476 34076+0=34076
其最大和为40676。
问题：当数字串和k给出后，找出一个分法使和为最大。

Sample Input

6 1
340670

Sample Output

40673

思路

设 $f[i][j]$表示前i个数里加j个符号
先求出每一的数，然后枚举每一个符号的位置
状态转移方程：
$f[i][ki]=max(f[i][ki],f[j][ki-1]+a[j+1][i]);$

代码

#include<iostream>
#include<cstring> 
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k; 
int a[55][55],f[505][505];
int main()
{
	scanf("%d%d\n",&n,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 {
	 	char c;
	 	c=getchar();
	 	a[i][i]=c-48;
	 }
	for (int i=1;i<n;i++)
	 for (int j=i+1;j<=n;j++)
	  a[i][j]=a[i][j-1]*10+a[j][j];//求出每一个以i到j的数
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 f[i][0]=a[1][i];//赋初值
	for (int ki=1;ki<=k;ki++)//枚举每一个加号的位置
	 for (int i=ki+1;i<=n;i++)//枚举每一个数字
	  for (int j=ki;j<i;j++)//枚举每一种分割情况
	   f[i][ki]=max(f[i][ki],f[j][ki-1]+a[j+1][i]);
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0; 
}

乘积最大

Description

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
　　设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
　　同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
　　有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：
　　1) 312=36
　　2) 312=62
　　这时，符合题目要求的结果是：31*2=62
　　现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
Input
　　程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。
Output
　　相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

Sample Input

　4  2
　1231

Sample Output

62

思路

其实和加法最大没什么区别，只需要把动态转移方程里的 $f[j][ki-1]+a[j+1][i]$改成 $f[j][ki-1]*a[j+1][i]$就可以了，基本思路是一样的。
动态转移方程:
$f[i][ki]=max(f[i][ki],f[j][ki-1]*a[j+1][i]);$

代码

#include<iostream>
#include<cstring> 
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,k; 
int a[55][55],f[505][505];
int main()
{
	scanf("%d%d\n",&n,&k);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 {
	 	char c;
	 	c=getchar();
	 	a[i][i]=c-48;
	 }
	for (int i=1;i<n;i++)
	 for (int j=i+1;j<=n;j++)
	  a[i][j]=a[i][j-1]*10+a[j][j];//求出每一个数的大小
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 f[i][0]=a[1][i];
	for (int ki=1;ki<=k;ki++)//枚举每一个乘号的位置
	 for (int i=ki+1;i<=n;i++)//枚举每一个数
	  for (int j=ki;j<i;j++)//枚举每一种分割情况
	   f[i][ki]=max(f[i][ki],f[j][ki-1]*a[j+1][i]);
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0; 
}