剑指offer面试题10:斐波拉契数列

版权声明：敲一敲看一看 https://blog.csdn.net/idealhunting/article/details/84985579

 题目描述：

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=39

思路一：递归

（通常来说编译器对尾递归是会有化，所以实际效果还是可以的，不过最好是自己实现优化。不能依赖编译器）

参考博客：尾递归与编译器优化 https://www.cnblogs.com/kiwibird/p/4967206.html

long long Fibonacci1(unsigned int n){
    if(n<=0)return 0;
    if(n==1)return 1;
    return Fibonacci1(n-1)+Fibonacci1(n-2);
}

思路二 ：模拟递归，动态思想自底向上

long long Fibonacci2(unsigned n){//剑指offer
    int result[2]={0,1};
    if(n<2)
        return result[n];
    long long fibNMinusOne=1;
    long long fibNMinusTwo=0;
    long long fibN=0;
    for(unsigned int i=2;i<=n;++i){
        fibN=fibNMinusOne+fibNMinusTwo;
        fibNMinusTwo=fibNMinusOne;
        fibNMinusOne=fibN;
    }
    return fibN;
}

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3
来源：牛客网

class Solution {//牛客高赞
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int f = 0, g = 1;
        while(n-->0) {//负值也true的
            g += f;
            f = g - f;
        }
        return f;
    }
};

class Solution {//牛客AC
public:
    int Fibonacci(int n) {
        int ans[2]={0,1};
        if(n<2)return ans[n];
        int fib1=0;
        int fib2=1;
        int fibn;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            fibn=fib1+fib2;
            fib1=fib2;
            fib2=fibn;
        }
        return fibn;
    }
};

思路三：矩阵快速幂（O(logn）)

* O(logN)解法：由f(n) = f(n-1) + f(n-2)，可以知道

* [f(n),f(n-1)] = [f(n-1),f(n-2)] * {[1,1],[1,0]}

* 所以最后化简为:[f(n),f(n-1)] = [1,1] * {[1,1],[1,0]}^(n-2)

* 所以这里的核心是：

* 1.矩阵的乘法

* 2.矩阵快速幂（因为如果不用快速幂的算法，时间复杂度也只能达到O(N)）

*/链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/c6c7742f5ba7442aada113136ddea0c3

struct Matrix2By2{
    Matrix2By2(
        long long m00 = 0,
        long long m01 = 0,
        long long m10 = 0,
        long long m11 = 0
    )
    :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11){}

    long long m_00;
    long long m_01;
    long long m_10;
    long long m_11;
};

Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1,const Matrix2By2& matrix2){
    return Matrix2By2(
        matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n){
//    assert(n > 0);
    Matrix2By2 matrix;
    if(n == 1){
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    }
    else
    if(n % 2 == 0){
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else
    if(n % 2 == 1){
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }
    return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n){
    int result[2] = {0, 1};
    if(n < 2)
        return result[n];
    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

c++ assert() 使用方法

https://blog.csdn.net/yunzhongguwu005/article/details/9178911

题目二：青蛙跳台阶（就是斐波拉契数列）

这里考察了建模能力，通过题目可以分析出青蛙的跳到第n级台阶时的跳法是和前面台阶有关的因为青蛙有两种跳法一步和两步，因此可以考虑动态规划的思想。

那么当现在所在位置的前面台阶数大于2时，到达现在所在的位置有两种，即从前前面的台阶跳两步到达和前面的台阶跳一步到达（前面指已经当前位置前已经跳过的台阶），于是可以得到递推公式，跳到当前台阶的总跳法dp[n]=dp[n-1]+dp[n-2]。（编写程序时注意递推边界n==2）

扩展（青蛙可能可以跳一步，两步，三步...n）具体分析类似。

补充公式（假设青蛙跳的步数可以是1~n种的任意数），那跳到第n台阶的总跳法f（n）=2^(n-1).

剑指offer上说用数学归纳证明，其实想想完全不用，

假设：从第0台阶条跳到第n台极有两种大可能，

1.借助（1~n-1）台阶到达：这里总共有多少种呢？？答案：2^(n-1)-1种，即求集合的子集思想，这里是求路径中经过的点，

2.直接从第0台阶跳到第n台阶 ：1种

综上所述总共有2^(n-1)种。

归纳法：https://blog.csdn.net/qq_20304723/article/details/81384862

//青蛙跳台阶 这里开辟了个dp数组保存自底向上的每一步，当然不保存也可以 参见前面的思路二

class Solution2{
public:
    int slove(int n){
        vector<int>dp(n+1);
        dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=2;
        if(n<=2)return dp[n];
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }

};