决策单调性DP学习小记

四边形不等式

解决形如这样的DP式子的问题
$F_{i,j} = min\{{F_{i - 1,k} + w_{k + 1,j}}\}(i<=k<=j)$
或者是
$F_{i,j} = min\{F_{i - 1,k},F_{k +1,j}\} + w_{i,j}(i<=k<=j)$
一般用于区间DP.

区间包含的单调性:
对于任意的 $a<=b<=c<=d$,若 $w(b,c)<=w(a,d)$,则称 $w$具有区间包含的单调性.
四边形不等式:
对于任意的 $a<=b<=c<=d$,若 $w(a,c)+w(b,d)<=w(b,c)+w(a,d)$,则称 $w$满足四边形不等式.
可以形象理解成交叉之和小于等于包含之和.

倘若上述的 $w$函数满足区间包含单调性和四边形不等式,则 $F$函数满足四边形不等式.

设 $p_{i,j}$为 $F_{i,j}$最优时取得的下标.
若 $F_{i,j}$满足四边形不等式,则 $p_{i,j}$单调.即 $p_{i,j}<=p_{i,j+1}<=p_{i+1,j+1}$

得到这些信息后, $k$的范围可以改写成
$p_{i,j-1}<=k<=p_{i+1,j}$
这样可以将复杂度优化至 $O(N^2)$.
一般来讲,可以将决策点打表打出来观察是否每行每列均单调.
当然如果能手动证明四边形不等式也是极好的.