代数式变形

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数列级数

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$

$\sum\limits_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum\limits_{k=1}^{n}k^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum\limits_{i=1}^ni(i+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

$\sum\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=i}^{i+k}i=\dfrac{\prod\limits_{j=n}^{n+k+1}i}{k+2}$

$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ij=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$

$\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\dfrac{1}{1-x}$，其中 $|x|<1$

$\sum\limits_{k=0}^nx^k=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}$，其中 $x\not=1$

$\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{i}{\prod\limits_{k=1}^{i+1}i}=\dfrac{\prod\limits_{i=1}^{n-1}i\prod\limits_{i=3}^ni}{2}$

10。1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+......+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n-1)/2*3*4*...*n
11。1^2+3^2+5^2+..........(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3
12。1^3+3^3+5^3+..........(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13。1^4+2^4+3^4+..........+n^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
14。1^5+2^5+3^5+..........+n^5=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) /12
15。1+2+2^2+2^3+......+2^n=2^(n+1) – 1

函数项级数

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}=e^x,x\in (-\infty,+\infty)$

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=sinx,x\in (-\infty,+\infty)$

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$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=cosx,x\in (-\infty,+\infty)$