几乎肝了半个下午和整个晚上
斜率优化的模型好多啊...
题意
给定一棵树，第$ i$个点如果离某个祖先$ x$的距离不超过$ L_i$，可以花费$ P_i·dist(i,x)+Q_i$的代价跳到点$ x$，
求每个点走到根的最小代价
点数不超过$ 2·10^5$
$ Solution$
用$dis_x$表示$ x$到根的距离
首先考虑一条链的情况
尝试斜率优化
容易推出两个点$j,k$，若$ dis_k>dis_j且k比j优$当且仅当$ \frac{dp_k-dp_j}{dis_k-dis_j}<P_i$
由于有$ P_i$不具有单调性可以维护单调栈然后每次在里面二分
但是由于有$ L_i$这个限制，这个单调栈并不容易直接维护
考虑$ CDQ$分治，即把问题转化成求左半部分对右半部分的转移贡献
将右半部分的点按照$ dis[i]-L_i$从大到小排序
每次枚举右边的点，将左边的点按距离从大到小加入单调栈中
显然现在没有$ L_i$的限制就可以直接在单调栈中二分
时间复杂度$ O(n \ log^2 \ n)$
然后就是把链上的问题放到树上
树上分治很容易想到直接点分治
流程如下：
1.找到当前子树的重心
2.将重心及重心外侧的子树递归计算（相当于序列上$CDQ$分治中的$calc(L,mid)$）
3.计算重心外侧的子树对重心以下的若干棵子树的贡献（相当于序列上$ CDQ$分治中左边对右边的贡献）
4.递归计算重心以下的各棵子树的答案（相当于序列上$ CDQ$分治中的$calc(mid+1,R)$）
总复杂度$ O(n \ log^2 \ n)$
$ my \ code$
#include<ctime> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> #define M 200010 #define rt register int #define ll long long using namespace std; namespace fast_IO{ const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000; char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1; inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;} inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;} inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);} } using namespace fast_IO; #define getchar() getchar_() #define putchar(x) putchar_((x)) inline ll read(){ ll x = 0; char zf = 1; char ch = getchar(); while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar(); if (ch == '-') zf = -1, ch = getchar(); while (isdigit(ch)) x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); return x * zf; } void write(ll y){if(y<0)putchar('-'),y=-y;if(y>9)write(y/10);putchar(y%10+48);} void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');} int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt; ll dis[M],lim[M],f[M],p[M],q[M]; int F[M],L[M],N[M],a[M],fa[M]; void add(int x,int y){ a[++k]=y; if(!F[x])F[x]=k; else N[L[x]]=k; L[x]=k; } int size[200010],nowmin,all,Q[200010],sta[200010],top,Root,troot; bool vis[200010]; inline bool cmp(int x,int y){return dis[x]-lim[x]>dis[y]-lim[y];} inline double slope(int x,int y){return (double)(f[x]-f[y])/(dis[x]-dis[y]);} void get(int x){ size[x]=1;int maxsum=0; for(rt i=F[x];i;i=N[i])if(!vis[a[i]]){ get(a[i]);size[x]+=size[a[i]]; maxsum=max(maxsum,size[a[i]]); } maxsum=max(maxsum,all-size[x]+1); if(maxsum<nowmin)nowmin=maxsum,Root=x; } int len; void dfs(int x){Q[++len]=x;for(rt i=F[x];i;i=N[i])if(!vis[a[i]])dfs(a[i]);} void calc(int x,int sz){ if(sz<=1)return; nowmin=all=sz;get(x);int u=Root; for(rt i=F[u];i;i=N[i])vis[a[i]]=1; calc(x,sz-size[u]+1);len=0; for(rt i=F[u];i;i=N[i])dfs(a[i]); sort(Q+1,Q+len+1,cmp);top=0; for(rt i=1,pl=u;i<=len;i++){ while(dis[pl]>=dis[Q[i]]-lim[Q[i]]&&pl!=fa[x]){ while(top>=2&&slope(pl,sta[top])>slope(sta[top],sta[top-1]))top--; sta[++top]=pl;pl=fa[pl]; } f[Q[i]]=min(f[Q[i]],f[sta[top]]+(dis[Q[i]]-dis[sta[top]])*p[Q[i]]+q[Q[i]]); if(top<=1)continue; int L=1,R=top-1; while(L<=R){ const int mid=L+R>>1; if((f[sta[mid]]-f[sta[mid+1]])<=p[Q[i]]*(dis[sta[mid]]-dis[sta[mid+1]])) R=mid-1;else L=mid+1; } f[Q[i]]=min(f[Q[i]],f[sta[L]]+(dis[Q[i]]-dis[sta[L]])*p[Q[i]]+q[Q[i]]); } for(rt i=F[u];i;i=N[i])calc(a[i],size[a[i]]); } int main(){ n=read();x=read(); memset(f,10,sizeof(f));f[1]=0; for(rt i=2;i<=n;i++){ fa[i]=read();add(fa[i],i); dis[i]=dis[fa[i]]+read(); p[i]=read();q[i]=read();lim[i]=read(); } calc(1,n); for(rt i=2;i<=n;i++)writeln(f[i]); return flush(),0; }