C程序设计案例（牛顿迭代法求高次方程的根）

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牛顿迭代法求方程的根

1. 牛顿迭代法的几何解释

• 注解： 设 $r$是 $f(x)=0$ 的根，选取 $x_0$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_0,f(x_0))$ 做曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$ ， $L:y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ ，则 $L$ 与 $x$ 轴交点的横坐标 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ ，称 $x_1$为 $r$ 的一次近似值。过点 $(x_1,f(x_1))$做曲线 $y=f(x)$ 的切线，并求该切线与 $x$轴交点的横坐标 $x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$ ，称 $x_2$ 为 $r$的二次近似值。重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列，其中， $x$_n+1 $=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 称为 $r$ 的 $n+1$ 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
  以下是部分图片（本人选自百度图片），帮助理解：
  
  

2. 案例

题目：用牛顿迭代法求根。方程为 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ ，系数 $a，b，c，d$ 的值依次为 1，2，3，4，由主函数输入。求 $x$ 在 1 附近的一个实根。求出根后由主函数输出。

3. 案例分析

牛顿迭代公式为： $x$_n+1 $=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
其中， $x_0$是上一次求出的近似根，在开始是根据题设 $x_0=1$（题目希望求x在1附近的一个实根，因此第一次的近似值可以设定为1）。 $f(x)=x^3+2x^2+3x+4$。 $f'(x)$是 $f(x)$的导数，所以 $f'(x)=3x^2+6x+3$
第一次迭代， $x=1-\frac{f(1)}{f'(1)}$ ；第二次迭代 。。。依次类推；
一直迭代到 $|x-x_0|<=10$^-3时结束。

4.代码实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>

float solution(float a,float b,float c,float d);

int main()
{
     float a,b,c,d;
	 printf("请输入系数a,b,c,d: ");
     scanf("%f%f%f%f",&a,&b,&c,&d);

     printf("x=%10.7f\n",solution(a,b,c,d));
     return 0;
}

float solution(float a, float b, float c,float d)
{
    float x = 1;
    float x0, f, f1;
    do
    {
        x0 = x;
        f = ((a * x0 + b)* x0 +c) * x0 + d;
        f1 = (3 * a * x0  + 2 * b) * x0 +c;
        x = x0 - f / f1;  
    }while(fabs(x - x0)>= 1e-3);

    return x;
}

参考文章

1. https://blog.csdn.net/yyzsir/article/details/78712887
2. https://blog.csdn.net/qq_41928880/article/details/80023335
3. https://blog.csdn.net/qq_31029351/article/details/53311285