图像去噪
小波去噪
随着小波理论的日益完善，其以自身良好的时频特性在图像去噪领域受到越来越多的关注，开辟了用非线性方法去噪的先河。具体来说，小波能够去噪主要得益于小波变换有如下特点：
（1）低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低。
意思是对信号（即图像）进行分解后，有更多小波基系数趋于0（噪声），而信号主要部分多集中于某些小波基，采用阈值去噪可以更好的保留原始信号。
（2）多分辨率特性。由于采用了多分辨方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳性，如突变和断点等（例如0-1突变是傅里叶变化无法合理表示的），可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来消除噪声。
（3）去相关性。小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噪。
（4）基函数选择灵活。小波变换可灵活选择基函数，也可根据信号特点和去噪要求选择多带小波和小波包等（小波包对高频信号再次分解，可提高时频分辨率），对不同场合，选择不同小波基函数。
根据基于小波系数处理方式的不同，常见去噪方法可分为三类：
（1）基于小波变换模极大值去噪（信号与噪声模极大值在小波变换下会呈现不同变化趋势）
（2）基于相邻尺度小波系数相关性去噪（噪声在小波变换的各尺度间无明显相关性，信号则相反）
（3）基于小波变换阈值去噪
小波阈值去噪是一种简单而实用的方法，应用广泛，因此重点介绍。
阈值函数选择
阈值处理函数分为软阈值和硬阈值，设w是小波系数的大小，wλ是施加阈值后小波系数大小，λ为阈值。
（1）硬阈值
当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，而大于阈值时，保持其不变，即：
（2）软阈值
当小波系数的绝对值小于给定阈值时，令其为0，大于阈值时，令其都减去阈值，即：
如下图，分别是原始信号，硬阈值处理结果，软阈值处理结果。硬阈值函数在|w| = λ处是不连续的，容易造成去噪后图像在奇异点附近出现明显的伪吉布斯现象。
阈值大小的选取
阈值的选择是离散小波去噪中最关键的一部。在去噪过程中，小波阈值λ起到了决定性作用：如果阈值太小，则施加阈值后的小波系数将包含过多的噪声分量，达不到去噪的效果；反之，阈值太大，则去除了有用的成分，造成失真。小波阈值估计方法很多，这里暂不介绍。
小波去噪实现步骤
（1）二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次N，然后计算信号s到第N层的分解。
（2）对高频系数进行阈值量化。对于从1~N的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。
（3）二维小波重构。根据小波分解的第N层的低频系数和经过修改的从第一层到第N的各层高频系数，计算二维信号的小波重构
Matlab函数介绍
（1）wavedec2函数
该函数用于对多尺度二维小波进行分解，其常用调用格式：
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname'):用小波函数wname对信号X在尺度N上的二维分解，N是严格正整数。
（2）wrcoef2函数
该函数用于对二维小波系数进行单支重构，其调用格式：
X = wrcoef2('type',C,S,'wname',N):用指定的小波函数wname进行N尺度重构。当type = 'a'时，仅对信号的低频部分进行重构，此时N可以为0;当type = 'h'(或'v'/'d')时，对信号（水平、垂直、对角）的高频进行重构，N为严格正整数。
（3）wthcoef2函数
该函数用于对二维信号的小波系数阈值进行处理，常用调用格式：
NC = wthcoef2('type',C,S,N,T,SORH):返回经过小波分解结构[C,S]进行处理后的新的小波分解向量NC，[NC,S]即构成一个新的小波分解结构。N是一个包含高频尺度的向量，T是相应的阈值，且N和T长度须相等。返回'type'（水平、垂直、对角线）方向的小波分解向量NC。参数SORH用来对阈值方式进行选择，当SORH = 's'时，为软阈值，当SORH = 'h'时，为硬阈值。
小波去噪Matlab实例
clear all;
load facets;
subplot(2,2,1);image(X);
colormap(map);
xlabel('(a)原始图像');
axis square
%产生含噪声图像
init = 2055615866;
randn('seed',init);
x = X + 50*randn(size(X));
subplot(2,2,2);image(x);
colormap(map);
xlabel('(b)含噪声图像');
axis square
%下面进行图像的去噪处理
%用小波函数coif3对x进行2层小波分解
[c,s] = wavedec2(x,2,'coif3');
%提取小波分解中第一层的低频图像，即实现了低通滤波去噪
%设置尺度向量
n = [1,2];
%设置阈值向量p
p = [10.12,23.28];
%对三个方向高频系数进行阈值处理
nc = wthcoef2('h',c,s,n,p,'s');
nc = wthcoef2('v',nc,s,n,p,'s');
nc = wthcoef2('d',nc,s,n,p,'s');
%对新的小波分解结构[c,s]进行重构
x1 = waverec2(nc,s,'coif3');
subplot(2,2,3);image(x1);
colormap(map);
xlabel('(c)第一次去噪图像');
axis square
%对nc再次进行滤波去噪
xx = wthcoef2('v',nc,s,n,p,'s');
x2 = waverec2(xx,s,'coif3');
subplot(2,2,4);image(x2);
colormap(map);
xlabel('(d)第二次去噪图像');
axis square
由于例子简单，处理效果一般，但可以明显地看出高频噪声得到了抑制